a)

Ta có $\widehat{ACB}=90{}^\circ $ (góc nội tiếp chắn nữa đường tròn)

Nên $AC\bot MB$ tại $C$

Ta có $\Delta MAB$ vuông tại $A$ với đường cao $AC$

Nên $M{{A}^{2}}=MC.MB$ (hệ thức lượng)

 

b)

Vì $OA=OD=R$ nên $\Delta OAD$ cân tại $O$

Có $OH$ là đường cao nên cũng là đường phân giác

Xét $\Delta MAO$ và $\Delta MDO$, ta có:

+  $MO$ là cạnh chung

+  $\widehat{MOA}=\widehat{MOD}$ (vì $OH$ là phân giác $\widehat{AOD}$)

+  $OA=OD=R$

Nên $\Delta MAO=\Delta MDO\left( c.g.c \right)$

Do đó $\widehat{MAO}=\widehat{MDO}=90{}^\circ $

Vậy $MD$ là tiếp tuyến của $\left( O \right)$

 

c)

Tứ giác $AMCH$ có $\widehat{MCA}=\widehat{MHA}=90{}^\circ $

Nên $AMCH$ nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{ACH}=\widehat{AMH}$ (cùng chắn cung $AH$)

Mà:

+  $\widehat{AMH}=\widehat{BAD}$ (cùng phụ $\widehat{MOA}$)

+  $\widehat{BAD}=\widehat{BCD}$  (cùng chắn cung $BD$)

Nên $\widehat{ACH}=\widehat{BCD}$

Mà $\widehat{ACH}+\widehat{BCH}=90{}^\circ $

Do đó $\widehat{BCD}+\widehat{BCH}=90{}^\circ $

Hay $\widehat{DCH}=90{}^\circ $

Vậy $DK\bot CH$ tại $C$