a) Ta có: $\widehat{ABM} = \dfrac{\overparen{AM}}{2}$

$\widehat{ASB} = \dfrac{\overparen{AC} - \overparen{MB}}{2}$

mà $\overparen{AC} = \overparen{AB}$ ($ΔABC$ đều)

nên $\dfrac{\overparen{AC} - \overparen{MB}}{2} = \dfrac{\overparen{AB} - \overparen{MB}}{2} = \dfrac{\overparen{AM}}{2}$

⇒ $\widehat{ASB} = \dfrac{\overparen{AM}}{2}$

Vậy $\widehat{ABM} = \widehat{ASB}$

b) Do $ΔABC$ đều

nên $AD, \, BE$ cũng là đường trung tuyến

⇒ $AE = EC = \dfrac{AC}{2}; \, BD = DC = \dfrac{BC}{2}$

⇒ $ED$ là đường trung bình

⇒ $ED // AB$

⇒ $\widehat{EDC} = \widehat{ABC}$ (đồng vị)

mà $\widehat{BAC} = \widehat{ABC}$ ($ΔABC$ đều)

nên $\widehat{EDC} = \widehat{BAC}$

Xét tứ giác $ABDE$ có:

$\widehat{EDC} = \widehat{BAC}$

$\widehat{EDC}$ là góc ngoài của $\widehat{EDB}$

Do đó $ABDE$ là tứ giác nội tiếp

c) Ta có:

$S_{viên \, phân} = S_{quạt} - S_{ΔAOC}$

$= \dfrac{\pi.R^{2}.n}{360} - \dfrac{1}{2}AC.OE$

$= \dfrac{\pi.AO^{2}.120}{360} - \dfrac{1}{2}.AC.(\dfrac{AC\sqrt{3}}{2})$

$ = \dfrac{\pi.(\dfrac{AC\sqrt{3}}{3})^{2}.120}{360} - \dfrac{1}{2}.AC.(\dfrac{AC\sqrt{3}}{6})$

$ = AC^{2}.(\dfrac{\pi}{9} - \dfrac{\sqrt{3}}{12})$

Bạn xem hình