a) Xét $∆ADE$ và $∆ACB$ có:

$\widehat{BAC}:$ góc chung

$\widehat{ADE} = \widehat{ACB}$ (cùng bù $\widehat{BDE}$)

 Do đó $∆ADE\sim ∆ACB \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AD}{AC} = \dfrac{DE}{BC}$

Hay $AD.BC = AC.DE$

b) Ta có: $\widehat{BDC} = 90^o$ (nhìn đường kính $BC$)

$\Rightarrow BD\perp CD$ hay $CD\perp AB$

$\Rightarrow CD$ là đường cao ứng với cạnh $AB$

Tương tự, ta được: $BE$ là đường cao ứng với cạnh $AC$

Xét $∆ABC$ có:

$CD$ là đường cao ứng với cạnh $AB$

$BE$ là đường cao ứng với cạnh $AC$

$CD$ cắt $BE$ tại $H$

$\Rightarrow H$ là trực tâm của $∆ABC$

$\Rightarrow AH$ là đường cao ứng với cạnh $BC$

Hay $AH\perp BC$

c) Ta có: $\widehat{BDH} + \widehat{BKH} = 90^o$

$\Rightarrow BDHE$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{DKH} = \widehat{DBH}$ (cùng nhìn cạnh $DH$)

Chứng minh tương tự, ta được $CKHE$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow \widehat{EKH} = \widehat{ECH}$ (cùng nhìn cạnh $EH$)

Mà $\widehat{ECH} = \widehat{DBH}$ (cùng phụ $\widehat{BAC}$)

nên $\widehat{EKH} = \widehat{DKH}$

d) Do $\widehat{EKH} = \widehat{DKH}$ (câu c)

$\Rightarrow KH$ là phân giác của $\widehat{DKE}$

Bằng cách chứng minh tương tự câu c, ta được:

$EH$ là phân giác của $\widehat{DEK}$

$DH$ là phân giác của $\widehat{EDK}$

Xét $∆DKE$ có $H$ là giao điểm của 3 đường phân giác $EH, DH, KH$

$\Rightarrow H$ là tâm đường tròn nội tiếp $∆DKE$