a) Ta có:

$M$ là trung điểm $AE$

$Q$ là trung điểm $CE$

$\Rightarrow MQ$ là đường trung bình trong $ΔACE$

$\Rightarrow MQ//AC$

hay $MQ//AB$

Tương tự,

$N$ là trung điểm $CD$

$P$ là trung điểm $BD$

$\Rightarrow NP$ là đường trung bình trong $ΔBCD$

$\Rightarrow NP//BC$

hay $NP//AB$

Xét tứ giác $MNPQ$ có:

$MQ//NP$ $(//AB)$

Do đó $MNPQ$ là hình thang, cạnh đáy $MQ, NP$ $(1)$

Gọi $I$ là trung điểm $AC$

$K$ là trung điểm $BC$

⇒ $NI$ là đường trung bình trong $ΔACD$

⇒ $NI//AD$

$MI$ là đường trung bình trog $ΔACE$

⇒ $MI//CE$

mà $AD//CE$ $(\widehat{CAD} = \widehat{BCE} = 60^o)$

nên $MI//NI$

⇒ $M,N,I$ thẳng hàng

⇒ $MN = NI - MI$

mà $MI = \dfrac{CE}{2}; \, NI = \dfrac{AD}{2}$

⇒ $MN = \dfrac{AD - CE}{2}$

Bằng cách chứng minh tương tự, ta được:

$PQ = \dfrac{DC - BE}{2}$

mà $AD = DC; \, CE = BE$

nên $MN = PQ$ $(2)$

Từ $(1)(2) ⇒ MNPQ$ là hình thang cân

b) Do $MNPQ$ là hình thang cân

nên $MP = NQ$

Ta lại có $NQ$ là đường trung bình trong $ΔDCE$ $(DN=NC;\, CQ=QE)$

⇒ $NQ = \dfrac{DE}{2}$

⇒ $MP = \dfrac{DE}{2}$