$\text{Giả sử điều đó có thể xảy ra, tức là :}$

$\left \{{{ x + y + z = 0 (1)} \atop {\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 (2)}} \right. $
$\text{Từ (2) ta có :}$ x

 `y + yz + xz = 0`
`Lại` `có :` `(1)`

`⇔ (x + y + z)² = 0 `
`⇔ x² + y² + z² + 2(xy + yz + xz) = 0 `
`⇔ x² + y² + z² = 0`

`Do` `xy + yz + xz = 0`  
`⇔ x = y = z = 0` 
$\text{Điều này không thể xảy ra vì khi :}$

`x = y = z = 0` $thì$ `1/x, 1/y, 1/z` $không$ $có$ $nghĩa$

`⇒ x + y + z` $và$ `(1/x + 1/y + 1/z)` $\text{không thể cùng có giá trị bằng}$ `0 `

Xin hay nhất !  

Giả sử điều đó có thể xảy ra, tức là 
{ x + y + z = 0 . . . . . . (1) 
{ 1/x + 1/y + 1/z = 0 . . (2) 

Từ (2) ta có: xy + yz + xz = 0 
Lại có: (1) ⇔ (x + y + z)² = 0 
⇔ x² + y² + z² + 2(xy + yz + xz) = 0 
⇔ x² + y² + z² = 0, do xy + yz + xz =0 theo CM trên 
⇔ x = y = z = 0 

điều này không thể xảy ra vì khi x = y = z = 0 thì 1/x, 1/y, 1/z không có nghĩa 
--> x + y + z và (1/x + 1/y + 1/z) không thể cùng có giá trị bằng 0