Đáp án+Giải thích các bước giải:

 a) Xét $∆AMC$ và $∆BMD$:
 $BM$ = $MC$ (gt)          
 $\widehat{ABM}$ =$\widehat{BMC}$ (đối đỉnh)
$AM$ = $MD$ (gt)
=> $∆AMC$ = $∆DMB$ (cạnh - góc - cạnh)
$⇒$ $\widehat{MAC}$ = $\widehat{D}$ (2 góc tương ứng)

Mà $2$ góc này ở bị trí so le trong
=> $AC$ $//$ $BD$ 
     $AB$$⊥$$AC$(gt)

=>  $AB$$⊥$$BD$

Vậy $\widehat{BAD}$ = $90^0$
b) Xét $∆ABC$ và $∆BAD$:
 $AB$: cạnh chung
$\widehat{BAC}$ = $\widehat{ABD}$ = $90^0$
 $AC$ = $BD$ (Vì $∆AMC$ $=$ $∆DMB$)

=> $∆ABC$ = $∆BAD$ (cạnh - góc - cạnh)
c) Ta có: $∆ABC$ = $∆BAD$

=> $BC$ = $AD$ ($2$ cạnh tương ứng)
Ta có: $AM$ = $\dfrac{1}{2}$$AD$

=> $AM$ =$\dfrac{1}{2}$$BC$

`a)` Xét `ΔAMC` và `ΔBMD`, có:

$BM = MC (gt)$

`\hat{AMB}=\hat{BMC}` (đối đỉnh)

$AM = MD (gt)$

`→ΔAMC = ΔDMB (c-g-c)`

`→\hat{MAC}=\hat{D}` (`2` góc tương ứng) 

Mà `2` góc ở vị trí so le trong

`→ AC║BD`

Mà $AB ⊥ AC (gt)→AB ⊥ BD$

`⇒\hat{ABD}=90^o`  (đpcm)

``

`b)` Xét `ΔABC` và `ΔBAD`, có:

`AB-` cạnh chung

`\hat{BAC}=\hat{ABD} (= 90^o)`

`AC = BD (ΔAMC = ΔDMB)` 

`⇒ΔABC = ΔBAD (c-g-c)`  (đpcm)

``

`c)` `ΔABC = ΔBAD` (câu `b`)

`→ BC = AD` (`2` cạnh tương ứng)

Mà `AM = 1/2 AD`

`⇒ AM = 1/2 BC`  (đpcm)