Đáp án:

$47) x+y+z-6=0\\ 48) x + 2 z - 10 = 0.$

Giải thích các bước giải:

$47)\\ (\alpha): -x+y-1=0, \vec{n}_{(\alpha)}=(-1;1;0)\\ (\beta): x+y-2z=0, \vec{n}_{(\alpha)}=(1;1;-2)\\ \left\{\begin{array}{l}(\gamma) \perp (\alpha)\\(\gamma) \perp (\beta ) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \vec{n}_{(\gamma)} \perp \vec{n}_{(\alpha)}\\\vec{n}_{(\gamma)} \perp \vec{n}_{(\beta )} \end{array} \right.$

$\Rightarrow \vec{n}_{(\gamma)}$ cùng phương  $[\vec{n}_{(\alpha)},\vec{n}_{(\alpha)}]$

$ [\vec{n}_{(\alpha)},\vec{n}_{(\alpha)}]=(-2;-2;-2)=-2(1;1;1)$

$(\gamma)$ nhận $(1;1;1)$ là một VTPT, đi qua $T(1;2;3)$ có phương trình:

$x-1+y-2+z-3=0 \Leftrightarrow x+y+z-6=0\\ 48)$

Gọi mặt phẳng cần tìm là $(P)$

VTPT trục $Oy: \vec{u}_{Oy}=(0;1;0)$

$(\alpha): 3x+y-z-1=0, \vec{n}_{(\alpha)}=(3;1;-1)\\ (P) \perp (\alpha) \Rightarrow \vec{n}_{\vec{n}_{(\alpha)}}  // (P)\\ \left\{\begin{array}{l}(P) // Oy \\ (P)   // \vec{n}_{\vec{n}_{(\alpha)}}  \end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l} \vec{n}_{(P)} \perp  \vec{u}_{Oy} \\ \vec{n}_{(P)} \perp \vec{n}_{\vec{n}_{(\alpha)}}  \end{array} \right.$

$\Rightarrow \vec{n}_{(P)}$ cùng phương $[\vec{n}_{(P)}; \vec{u}_{Oy}]=(-1;0;-2)=-(1;0;2)$

$(P)$ có VTPT $(1;0;2)$, đi qua $G(4;2;3)$ có phương trình:

$x-4+2(z-3)=0 \Leftrightarrow x + 2 z - 10 = 0.$