Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 Bài 1:

b) - Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra, p là số lẻ.

`=>` Hai số `p – 1, p + 1` là hai số chẵn liên tiếp

`=> (p – 1).(p + 1)` ⋮ 8           (1)

- Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên suy ra p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 (k thuộc N*).

+) Với `p = 3k + 1:`

`=> (p – 1)(p + 1) = 3k.(3k + 2)` ⋮ 3 (2a)

+) Với `p = 3k + 2:`

`=> (p – 1)(p + 1) = (3k – 1).3.(k + 1)` ⋮ 3 (2b)

Từ `(2a), (2b)` suy ra: `(p – 1)(p + 1)` ⋮ 3      (2)

Vì `(8, 3) = 1,` từ (1) và (2) suy ra: `(p – 1)(p + 1)` ⋮ 24 (đpcm).

c)

Gọi \(d=ƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\) \(\left(d\in N\right)\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^4+2n^2⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\) \(n^2+1⋮d\)

Mà \(n^3+2n⋮d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^3+n⋮d\\n^3+2n⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow n⋮d\)

Mà \(n^2+1⋮d\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}n^2⋮d\\n^2+1⋮d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

Vì \(d\in N;1⋮d\Rightarrow d=1\)

\(\RightarrowƯCLN\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\)

Vậy phân số \(\dfrac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}\) tối giản với mọi \(n\in N\)

\(\Rightarrowđpcm\)

Bài 2:

a)

Giả sử tử và mẫu của phân số cùng chia hết cho số nguyên tố d

\(\Rightarrow\)7(6n+4) - 2(21n+3)\(⋮\) d

\(\Rightarrow\) (42n+28)-(42n+6)

\(\Rightarrow\) 22\(⋮\)d

\(\Rightarrow d\in\) {2;11}

Như vậy nếu phân số A rút gọn được cho số nguyên tố d thì d=2 hoặc d=11

Trường hợp phân số rút gọn cho 2 : Ta luôn luôn có 6n+4 chia hết cho 2, còn 21n+3 chia hết cho 2 nếu n là lẻ

Tường hợp phân số rút gọn cho 11 : Ta có 21n+3 chia hết cho 11 \(\Rightarrow\) 22n-n+3 chia hết cho 11.

\(\Rightarrow\) n-3 phải chia hết cho 11 ( vì 22n \(⋮\) 11 nên n-3 phải chia hết cho 11)

Đảo lại với n = 11k +3 (k \(\in\) N) thì 21n+3 và 6n+4 chia hết cho 11

Vậy với n lẻ hoặc n chẵn mà n = 11 k +3 thì phân số A rút gọn được

b) Vì p là số nguyên tố nên

`p>=2`

`→ 3.p^2+1 \ge 13`

mà để `3.p^2+1` là số nguyên tố `→3p^2+1` là số lẻ `->3p^2` là số chẵn

`3` là số lẻ `→ p^2` chẵn `→` p chẵn `→p=2` (thỏa mãn)

Xét `24.p^2+1=97 → TM`

`3p^2+1 =13 → TM`

Vậy `p =2` thỏa mãn điều kiện đề bài