Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Để thỏa yêu cầu đề bài thì $(Cm)$ phải có 2 điểm cực trị

nằm về 2 phía trục hoành, cần đồng thời 2 điều kiện:

1) Phương trình $ y' = 0$ có 2 nghiệm pb $x_{1}; x_{2}$ chính là

hoành độ của 2 cực trị;

$y' = 3x² + 6x + m = 0 (1)$

$ Δ' = 3² - 3m = 9 - 3m > 0 ⇔ m < 3 (*)$

2) Tung độ 2 cực trị trái dấu nhau $: y_{1}.y_{2} < 0$

$y_{1} = x_{1}³ + 3x_{1}² + mx_{1} + m - 2$

$ ⇔ 3y_{1} = 3x_{1}³ + 9x_{1}² + 3mx_{1} + 3m - 6 (2)$

$ x_{1}$ là nghiệm của $(1)$ nên thỏa $(1)$:

$ 0 = 3x_{1}² + 6x_{1} + m ⇔ 6x_{1}² + 12x_{1} + 2m (3)$

$ 0 = x_{1}(3x_{1}² + 6x_{1} + m) = 3x_{1}³ + 6x_{1}² + mx_{1}(4)$

$(2) - (4): 3y_{1} = 6x_{1}² + 2mx_{1} + 3m - 6 (5)$

$(5) - (3): 3y_{1} = 2(m - 6)x_{1} + m - 6 = (m - 6)(2x_{1} + 1)$

Tương tự : $3y_{2} = (m - 6)(2x_{2} + 1)$

$y_{1}.y_{2} < 0 ⇔ (m - 6)²(2x_{1} + 1)(2x_{2} + 1) < 0$

$⇔(2x_{1} + 1)(2x_{2} + 1) < 0 ⇔ 4x_{1}x_{2} + 2(x_{1} + x_{2}) + 1< 0$

$x_{1}; x_{2} $ thỏa $(1)$ theo Vi ét:

$ x_{1} + x_{2} = - 2; x_{1}x_{2} = \frac{m}{3}$ thay vào:

$ 4.\frac{m}{3} + 2.(- 2) + 1 < 0 ⇔ m < \frac{9}{4} (**)$

Từ $(*); (**) ⇒ m < \frac{9}{4} $