Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Xét `\Delta ABC` vuông tại A:

`AB^2+AC^2=BC^2` (định lý Pi-ta-go)

`BC^2=25+144`

`BC^2=169`

`\Rightarrow BC=13\ cm`

Ta có: 

\(HD \bot AB \Rightarrow \widehat {ADH} = 90^\circ \)

\(HE \bot AC \Rightarrow \widehat {AEH} = 90^\circ \)

Tứ giác ADHE có 3 góc vuông nên nó là hình chữ nhật.

Suy ra: AH = DE (tính chất hình chữ nhật)

Tam giác ABC vuông tại A và có AH là đường cao.

Theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu ta có:

\(\eqalign{
& A{H^2} = HB.HC = \frac{25}{13}.\frac{144}{13} = \frac{3600}{169} \cr
& \Rightarrow AH = \frac{60}{13}\,(cm) \cr} \)

Vậy DE = `\frac{60}{13}` (cm)

b) Xét `\Delta AHB` vuông tại `H`:

`AH^2=AD.AB` (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự: `AH^2=AE.AC`

`\Rightarrow AD.AB=AE.AC`

Xét `\Delta ADE` và `\Delta ACB`:

`\hat{DAE}=\hat{CAB}=90^{0}`

`\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}` (cmt)

Do đó: \(\Delta ADE \sim \Delta ACB\) (c-g-c)

c) * Gọi G là giao điểm của AH và DE

Ta có: GA = GD = GH = GE (tính chất hình chữ nhật)

Suy ra tam giác GHD cân tại G

Ta có:

\(\widehat {GDH} = \widehat {GHD}\,(1)\)

\(\widehat {GDH} + \widehat {MDH} = 90^\circ \,(2)\)

\(\widehat {GHD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \,(3)\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: \(\widehat {MDH} = \widehat {MHD}\,(4)\)

Suy ra tam giác MDH cân tại M \( \Rightarrow MD = MH\,(5)\)

Lại có: \(\widehat {MDH} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,(6)\)

\(\widehat {MBD} + \widehat {MHD} = 90^\circ \) (∆BDH vuong tại D) (7)

Từ (4), (6) và (7) suy ra: \(\widehat {MDB} = \widehat {MBD}\)

Suy ra tam giác MBD cân tại M \( \Rightarrow MB = MD\,(8)\)

 Từ (5) và (8) suy ra: MB = MH hay M là trung điểm của BH.

*Tam giác GHE cân tại G

Ta có: \(\widehat {GHE} = \widehat {GEH}\,(9)\)

\(\widehat {GHE} + \widehat {NHE} = 90^\circ \) (10)

\(\widehat {GEH} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (11)

Từ (9), (10) và (11) suy ra: \(\widehat {NHE} = \widehat {NEH}\) (12)

Suy ra tam giác NEH cân tại n \( \Rightarrow NE = NH\) (13)

Lại có: \(\widehat {NEC} + \widehat {NEH} = 90^\circ \) (14)

\(\widehat {NHE} + \widehat {NCE} = 90^\circ \) (∆CEH vuông tại E) (15)

Từ (12), (14) và (15) suy ra: \(\widehat {NDC} = \widehat {NCE}\)

Suy ra tam giác NCE cân tại N \( \Rightarrow NC = NE\,(16)\)

Từ (13) và (16) suy ra: NC = NH hay N là trung điểm của CH.

a) Áp dụng Định lý Py-ta-go vào $\Delta ABC$ ta có

$AB^2+AC^2=BC^2\\
\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$(cm)

Áp dụng hệ thức lượng trong Tam giác vuông ABC ta có

+)$AB^2=BC.HB\\
\Rightarrow HB=\frac{AB^2}{BC}=\frac{5^2}{13}=\frac{25}{13}$(cm)

 +)$AC^2=BC.HC\\
\Rightarrow HC=\frac{AC^2}{BC}=\frac{12^2}{13}=\frac{144}{13}$(cm)

+)$AH^2=HB.HC\\
\Rightarrow AH^2=\frac{25}{13}.\frac{144}{13}=\frac{3600}{169}\\
\Rightarrow AH=\sqrt{\frac{3600}{169}}=\frac{60}{13}$(cm)

b)Xét ΔAHB vuông tại H:

$AH^2=AD.AB$ (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự: $AH^2=AE.AC$

$⇒AD.AB=AE.AC$$\Rightarrow \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$

Xét ΔADE và ΔACB:

$\widehat{DAE}=\widehat{CAB}$$(=90^o)$

$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$(cmt)

Do đó: $ΔADE∼ΔACB$ (c-g-c)