Bài giải tìm trực tiếp tọa độ hai điểm cực trị theo $m$

Đặt tên 2 điểm cực trị lần lượt là $A$ và $B$

Bài toán trở thành bài tập cơ bản về tìm đường thẳng đi qua hai điểm và song song với đường thẳng cho trước.

Nhắc lại kiến thức: Đường thẳng $(d): y = ax + b$ đi qua hai điểm $A(x_A; y_A), \, B(x_B; y_B)$ thì tọa độ hai điểm $A, \, B$ thỏa hệ phương trình:

$\begin{cases}y_A = a.x_A + b\\y_B = a.x_B + b \end{cases}$

Đường thẳng $(d): y = ax + b$ song song với đường thẳng $(d'): y = a'x + b'$

$\Leftrightarrow \begin{cases}a = a'\\b \ne b' \end{cases}$

$\\$

Cách khác:

- Tìm đạo hàm $y'$ của $y$

- Thực hiện phép chia hai đa thức: $y : y'$, phần dư của phép chia chính là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị.

Áp dụng:

Ta có: $y = 2x^3 + 3(m-1)x^2 + 6m(1-2m)x$

$\Rightarrow y' = 6x^2 + 6(m-1)x + 6m(1-2m)$

Thực hiện phép chia $y$ cho $y'$, ta được:

$y = \left(\dfrac{1}{3}x + \dfrac{m-1}{6}\right).y' + (-9m^2 + 6m -1)x -2m^3 + 3m^2 - m$

Do đó $(-9m^2 + 6m -1)x -2m^3 + 3m^2 - m$ là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

$Ycbt \, \Leftrightarrow \begin{cases}-9m^2 + 6m -1 = -4\\-2m^3 + 3m^2 - m \ne 0 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\left[\begin{array}{l}m = 1\\m = \dfrac{1}{3} \end{array}\right. \\\begin{cases} m \ne 1\\m \ne 0\\m \ne \dfrac{1}{2}\end{cases}\end{cases} \,\,\Leftrightarrow m = \dfrac{1}{3}$