$y = -\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 2x - 3$

$TXĐ: D = R$

$\star$ Sự biến thiên

- Chiều biến thiên:

$y' = -x^2 - x + 2$

$y' = 0 \Leftrightarrow -x^2 - x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=1\\x=-2\end{array} \right.$

Hàm số nghịch biến trên các khoảng $(-\infty;-2),\, (1;+\infty)$

Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;1)$

$y''=-2x - 1$

$y'' = 0 \Leftrightarrow -2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{1}{2} \Rightarrow y = -\dfrac{49}{12}$

$U\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{49}{12}\right)$ là điểm uốn của đồ thị

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1; \, y_{CĐ} = -\dfrac{11}{6}$

Hàm số đạt cực tiểu tại $x = -2; \, y_{CT} = -\dfrac{19}{3}$

- Giới hạn:

 $\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \left[x^3\left(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}\right)\right]=+\infty$ 

 $\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} \left[x^3\left(-\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^2}-\dfrac{3}{x^3}\right)\right]=-\infty$ 

- Bảng biến thiên:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & &-2 & & &   & 1 & & &+\infty\\
\hline
y' & & - & & &  & + &  & && - &\\
\hline
&+\infty&&&&&&&-\dfrac{11}{6}&\\
y & &\searrow& &&&\nearrow & & & &\searrow&\\
&&&&-\dfrac{19}{3}&&&&&&&-\infty\\
\hline
\end{array}$

$\star$ Đồ thị:

(Hình đính kèm)

- Đồ thị cắt trục Ox tại điểm $(-3,7443; 0)$

- Đồ thị cắt trục Oy tại điểm $(0;-3)$

b) Gọi $ y = ax + b$ là tiếp tuyến của $(C)$ tại $M(x_0;y_0)$

$\Rightarrow y = y'(x_0).(x-x_0) +y_0$

Do $M(x_0;y_0) \in (C)$ nên ta được:

$y_0 = -\dfrac{1}{3}x_0^3 - \dfrac{1}{2}x_0^2 + 2x_0 -3$

Với $x_0 = 0$, ta được $y_0 = -3$

$\Rightarrow M(0;-3)$

$\Rightarrow y = (-2.0^2 - 0 + 2).(x - 0) - 3$

$\Rightarrow y = 2x - 3$

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại điểm có hoành đồ $x_0=0$ là $y = 2x - 3$

c) Ta có: $-\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 2x - 3 = m \, (*)$

là phương trình hoành độ giao điểm giữa $(C)$ và đường thẳng $(d): y=m$

Dựa vào đồ thị, ta được:

- Khi $m < -\dfrac{19}{3} \Rightarrow (d)$ cắt $(C)$ tại một điểm

$\Rightarrow (*)$ có 1 nghiệm

- Khi $m = -\dfrac{19}{3} \Rightarrow (d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm

$\Rightarrow (*)$ có 2 nghiệm

- Khi $-\dfrac{19}{3} < m < -\dfrac{11}{6} \Rightarrow (d)$ cắt $(C)$ tại ba điểm

$\Rightarrow (*)$ có 3 nghiệm

- Khi $m = -\dfrac{11}{6} \Rightarrow (d)$ cắt $(C)$ tại hai điểm

$\Rightarrow (*)$ có 2 nghiệm

- Khi $m > -\dfrac{11}{6} \Rightarrow (d)$ cắt $(C)$ tại một điểm

$\Rightarrow (*)$ có 1 nghiệm