a) Ta có: $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$ $(gt)$

$\Rightarrow MA = MB = MC$

$\Rightarrow ΔMAB; \, ΔMAC$ cân tại $M$

Xét $ΔBPM$ và $ΔAPM$ có:

$\widehat{B} = \widehat{A} = 90^o$

$MB = MA$

$MP:$ cạnh chung

Do đó $ΔBPM=ΔAPM$  (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

$\Rightarrow PB = PA$

mà $MB = MA$

$\Rightarrow MP$ là trung trực của $AB$

$\Rightarrow MP\perp AB$

$\Rightarrow \widehat{MPA} = \widehat{BAM}$ (cùng phụ $\widehat{PAB}$)

mà $\widehat{BAM} = \widehat{MBA}$ ($ΔMAB$ cân tại $M$)

nên $\widehat{MPA} = \widehat{MBA}$

Chứng minh tương tự, ta được: $\widehat{MQA} = \widehat{MCA}$

Ta lại có: $\widehat{MBA} + \widehat{MCA} = 180^o - \widehat{BAC} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{MPA} + \widehat{MQA} = 90^o$

$\Rightarrow \widehat{PMQ} = 90^o$

$\Rightarrow ΔPMQ$ vuông tại $M$

b) Xét $ΔBPM$ và $ΔCMQ$ có:

$\widehat{B} = \widehat{C} = 90^o$

$\widehat{BMP} = \widehat{CQM}$ (cùng phụ $\widehat{CMQ}$)

Do đó $ΔBPM\sim ΔCMQ \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{BP}{CM} = \dfrac{BM}{CQ}$

$\Rightarrow BP.CQ = BM.CM = \dfrac{BC}{2}.\dfrac{BC}{2} = \dfrac{BC^2}{4}$

$\Rightarrow 4BP.CQ = BC^2$

c) Xét $ΔPQM$ và $ΔBCA$ có:

$\widehat{A} = \widehat{M} = 90^o$

$\widehat{QPM} = \widehat{ABC}$ (chứng minh ở câu a)

Do đó $ΔPQM\sim ΔBCA \, (g.g)$