Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:
a/ Ta có: tam giác ABC cân tại A => $ABC=\frac{180^0-BAC}{2}$ (1)
Có: $AB = AC$ và $BD = CE$
=> $AB + BD = AC + CE$
=> $AD = DE$ => Tam giác ADE cân tại A => $ADE=\frac{180^0-BAC}{2}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $ABC=ADE$ và ở vị trí so le trong
=> $BC // DE$
b/ Ta có: góc $MBD$ = góc $ABC$
và góc $NCE$ = góc $ACB$
Mà góc $ABC$ = góc $ACB$ (tam giác ABC cân tại A)
nên góc $MBD$=$NCE$
Xét 2 tam giác vuông MBD và NCE
Có: $MBD = NCE$ (cmt)
$BD=CE$ (gt)
=> Tam giác vuông MBD = tam giác vuông NCE (cạnh huyền_góc nhọn)
=> BM=CN
c/ Xét tam giác MAD và tam giác NAE
Có: $AD = AE$ (gt)
$MAD=NAE$ (tam giác MBD = tam giác NCE)
$MD = NE$ (tam giác MBD = tam giác NCE)
=> Tam giác MAD = Tam giác NAE (c.g.c)
=> $AM=AN$
Chúc bạn học tốt !!!!
=> Tam giác AMN cân tại A
d/ gọi F là giao điểm BI và MA; G là giao điểm của IC và AN
Xét 2 tam giác vuông FMB và GNC
Có: góc $FMB$ = góc $GNC$ (tam giác AMN cân)
$MB = CN$ (câu b)
=> Tam giác vuông FMB = Tam giác vuông GNC (cạnh huyền-góc nhọn)
=> $MF = GN$
Và $AM = AN$ (tam giác AMN cân)
=> $AM - MF = AN - GN$
=> $AF=AG$
Xét 2 tam giác vuông AFI và AGI
Có $AF=AG$ (cmt)
AI chung
=> Tam giác vuông AFI = tam giác vuông AGI (Cạnh huyền-cạnh góc vuông)
=> góc $FAI$ = góc $GAI$ 
=> AI là tia phân giác góc MAN (1)
=> AI là cũng là đường cao tam giác MAN
=> AI vuông góc MN
=> AI // NE và AI // MD (cùng vuông góc MN)
=> góc $MDA$ = góc $DAI$ và góc $NEA$ = góc $EAI$
Mà góc $MDA$ = góc $NEA$ (tam giác MBD = tam giác NCE; cmt)
nên góc $DAI$ = góc $EAI$
=> AI là tia phân giác góc BAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra AI là tia phân giác chung của 2 góc BAC và MAN (đpcm)
Chúc bạn học tốt !!!

Đáp án:

 Quốc Đẹp Trai

Giải thích các bước giải:

A)Do ABC là tam giác cân tại A

=>AB=BC

Mà BD=CE

=>AD=AE

=>ΔADE cân tại A

ΔABC và Δ ADE là tam giác cân có chung góc BAC

=>∠ABC=∠ADE=($\frac{180-∠ABC}{2}$ )

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=>DE//BC

B) Ta có: ∠MBD=∠ABC (đối đỉnh)

              ∠ECN=∠ACB (đối đỉnh)

=> ∠MBD=∠ECN

ΔMBD =ΔNCE (ch-gn) do:

+;∠MBD=∠ECN (cmt)

+;BD=CE(gt)

=>MD=CN

    ∠MBD=∠CEN

    MB=CN

C)Xét Δ DMA và Δ ENA có:

+) MD=NE (cmt)

+)∠ MDA=∠ NEC (cmt)

+)AD=AE (cmt)

 =>Δ DMA= Δ ENA (c-g-c)

=>AM=AN (hai cạnh tương ứng)

=>Δ AMN cân tại A

D) Gọi BH ⊥ AM ; CK⊥ AN

     AQ là phân giác ∠BAC

    =>AQ là phân giác ∠MAN ( do ∠MAD=∠NAE)

∠HBM= ∠KCN do:

+)∠HMB= ∠HNC (Δ AMN cân tại A)

 +)∠MHB=∠CKN (=90)

=>∠ IBC= ∠ICB (đối đỉnh)

=>Δ IBC cân tại I

=>IQ ⊥ BC

=>A,Q,I thẳng hàng

=>AI là phân giác của ∠BAC và ∠MAN

......................................

P/s: nhớ vote 5*