Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

 a)

Do DM // AB (giả thiết)

⇒ ∠MDH = ∠HAB (2 góc so le trong)

Xét Δ MDH và ΔBAH, ta có:

        ∠MDH = ∠HAB (chứng minh trên)

            DH   =  BH (giả thiết)

        ∠MHD = ∠AHB = $90^{o}$ 

⇒   Δ MDH  = ΔBAH (ch-gn)

⇒        MD   =  AB (2 cạnh tương ứng)

Mà MD // AB (giả thiết)

⇒ Tứ giác ABDM là hình bình hành

b)

Do MD // AB (giả thiết)

⇒ ND // AB

Mà AB ⊥ AC tại A (do ΔABC vuông tại A)

      N ∈ AC (giả thiết)

⇒ DN ⊥ AC tại N

Mà ND cắt CH tại M

      CH ⊥ AD tại H (do AH ⊥ BC)

⇒ M là trực tâm của Δ ACD

c) 

+) Xét ΔCNM vuông tại N (Do ND ⊥ AC), ta có:

Đường trung tuyến IN ứng với cạnh huyền CM

⇒ IN = $\frac{1}{2}$ CM

⇒ IN = CI = IM

⇒ IN = IM

⇒ ΔINM cân tại I

⇒ ∠INM = ∠ IMN

Mà ∠DMH = ∠ IMN (2 góc đối đỉnh)

⇒ ∠DMH = ∠ INM (1)

+) Xét ΔAND vuông tại N (Do ND ⊥ AC), ta có:

Đường trung tuyến NH ứng với cạnh huyền AD

⇒ HN = $\frac{1}{2}$ AD

⇒ HN = AH = HD

⇒ HN = HD

⇒ ΔNHD cân tại H

⇒ ∠HDN = ∠HND (2)

Cộng (1) với (2) vế theo vế, ta có:

    ∠DMH + ∠HDN = ∠ INM + ∠HND

⇒      $90^{o}$       = ∠HNI      (do ΔHMD vuông tại H)

a) Xét tứ giác ABDN, có:

AB//DN(N\(\in\) đường thẳng đi qua D và // với AB)

\(\Rightarrow\)ABDN là hình thang

Mà \(\widehat{BAN}=90^o\)

\(\Rightarrow\) ABDN là hình thang vuông

b)Xét \(\Delta ADC\), có:

\(DN\perp AC\)(DN//AB mà AB\(\perp\)AC)

\(CH\perp AD\)

Mà M là giao điểm của DN và CH

Do đó: M là trực tâm của \(\Delta ACD\)

c) Ta có

+AH=HD (gt)

=> CH là đường trung tuyến

+ CH là đường cao của △ADC

=> △ADC cân tại C

=> M là trọng tâm

=> \(HM=\dfrac{1}{3}HC\) (3)

và \(MC=\dfrac{2}{3}HC\)

=> \(MI+MC=\dfrac{2}{3}HC\)

mà MI=MC

=> MI=MC=\(\dfrac{2}{3}HC:2=\dfrac{1}{3}HC\)(4)

từ (3) và (4) ta có HM=MI

vì △ACD cân

=> AK là đường phân giác

=> \(\widehat{HAM}=\widehat{MAN}\)

* xét △ HAM và NAM có

\(\widehat{H}=\widehat{N}=\left(90^0\right)\)

AM cạnh chung

\(\widehat{HAM}=\widehat{NAM}\left(cmt\right)\)

=> △HAM = △NAM (ch-gn)

=> HM =NM

* xét △HNI có

HM=NM

HM =IM

=> △HNI vuông tại A (tính chất đường trung tuyến của tam giác vuông)

=> IN ⊥HN

=> \(\widehat{HNI}=\left(90^0\right)\)