Gọi $G$ là trọng tâm $∆ABC$

$\Rightarrow BG\perp CG \, (gt)$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow MG = MB = MC$

Gọi độ dài $MB = MC = MG = m$

Đội dài $AM = d$

Theo định lý $cos$ ta được:

$c^2 = m^2 + d^2 - 2md.cos\widehat{AMB}$

$b^2 = m^2 + d^2 - 2md.cos\widehat{AMC}$

mà $cos\widehat{AMC} = cos(180^o - \widehat{AMB}) = - cos\widehat{AMB}$

nên $b^2 + c^2 = 2m^2 + 2d^2$ $(*)$

Ta có: $AM = 3GM$ (tính chất đường trung tuyến)

$\Rightarrow d = 3m$

$\Rightarrow d^2 = 9m^2$

 Thay vào $(*)$ ta được:

$b^2 + c^2 = 2m^2 + 2.9m^2 = 20m^2$

Ta lại có: $m = \dfrac{1}{2}a$

$\Rightarrow m^2 = \dfrac{1}{4}a^2$

Do đó: $b^2 + c^2 = 20.\dfrac{1}{4}a^2 = 5a^2$ $(đpcm)$

$\\$

Đẳng thức $(*)$ được gọi là Định lý Apollonius về mối quan hệ giữa độ dài đường trung tuyến và các cạnh của tam giác