GT  $\Delta ABC ;AB=AC=5cm ; BC=6(cm); I $ $\text{là trung điểm của BC ; }$$IM \bot AB ; $ $IN \bot AC ; $ $\widehat{BAC}=$$120^{o}$ 

KL  $\Delta AIB=$$\Delta AIC $

      $AI \bot BC ; AI = ?(cm)$

      $\Delta IMN $ $\text{là tam giác gì}$

Chứng minh : 

$\text{a) Có : AB=AC= 5(cm) ( gt)}$

$\Rightarrow $ $\Delta ABC$ $\text{cân tại A}$

$\Rightarrow$ $\widehat{B}=$$\widehat{C}$

$\text{Có : I là trung diểm của BC }$ $\Rightarrow BI=IC $

$\text{Xét }$$\Delta ABIvà $ $\Delta ACI có : $

  $\text{+) AB = AC (gt)}$     

  $\text{+) BI = IC (cmt)}$    

  $+) \widehat{B}=$$\widehat{C}(cmt)$    

$\Rightarrow $$\Delta ABI =$ $\Delta ACI( c . g.c)$

$\text{b) Có : }$$\Delta ABI =$ $\Delta ACI( cmt)$

$\Rightarrow $$\widehat{BAI}=$$\widehat{CAI }$ $\text{( 2 góc tương ứng ) }$

$\Rightarrow $$\widehat{BIA}=$$\widehat{CIA }$ $\text{( 2 góc tương ứng ) }$

$\text{mà }$ $\widehat{BIA}+$$\widehat{CIA }=$$180^{o}$ $\text{( 2 góc kề bù )}$

$\Rightarrow $$\widehat{BIA}=$$\widehat{CIA }=$$90^{o}$

$\Rightarrow$ $AI\bot BC $

$\text{Có : M là trung điểm của BC }$ $\Rightarrow BI=CI=$$\dfrac{BC}{2}=$$\dfrac{6}{2}=3(cm)$

$\text{Áp dụng định lí Py - ta - go vào }$$\Delta BAI $

$AI^{2} + $ $BI^{2}=$ $AB^{2}$

$\Rightarrow $ $AI^{2} =$ $AB^{2}-$ $BI^{2}$

$\Rightarrow $ $AI^{2} =$ $5^{2}-$ $3^{2}=25 - 9 = 16 $

$\Rightarrow AI = 4(cm)$

$\text{c) Có : }$$IM \bot AB (gt) $ $\Rightarrow$ $\widehat{AMI }=$$90^{o}$

$\text{ Có : }$$IN \bot AC (gt) $ $\Rightarrow$ $\widehat{INA }=$$90^{o}$

$\text{Có : }$$\widehat{BAC}=$$120^{o}$

$\Rightarrow$ $\widehat{BAI}=$$\widehat{CAI }=$$\dfrac{120^{o}}{2}=60^{o}$

$\Delta AMI có : $$\widehat{MAI }+$$\widehat{MIA}= $$90^{o}$ $\text{( định lí tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông)}$

$\Rightarrow$$\widehat{MAI }+$$\widehat{MIA}= $$90^{o}$

$\Rightarrow$$\widehat{MIA}= $$90^{o}-$ $\widehat{MAI }= 90^{o}-60^{o}=30^{o}$

$\Delta AMI có : $$\widehat{IAN }+$$\widehat{NIA}= $$90^{o}$ $\text{( định lí tổng 2 góc nhọn trong tam giác vuông)}$

$\Rightarrow$$\widehat{IAN }+$$\widehat{NIA}= $$90^{o}$

$\Rightarrow$$\widehat{NIA}= $$90^{o}-$ $\widehat{NAI }= 90^{o}-60^{o}=30^{o}$

$\Rightarrow$$\widehat{NIA}+ $$\widehat{MIA}= 30^{o}+30^{o}=60^{o}$                      $\text{(1)}$

$\text{Xét }$$\Delta AMIvà $ $\Delta ANI có : $  

$+) \widehat{MAI}=$$\widehat{NAI }(cmt)$     

$\text{+) AI là cạnh chung }$       

 $+) \widehat{AMI}=$$\widehat{ANI }=90^{o}(cmt)$   

$\Rightarrow $$\Delta AMI =$ $\Delta ANI( cạnh huyền - góc nhọn )$

$\Rightarrow $ $\text{MI=NI ( 2 cạnh tương ứng ) }$

$\Rightarrow $ $\Delta$ MIN $\text{cân tại I }$ $\text{(2)}$

$\text{Từ (1) và (2) }$

$\Rightarrow $ $\Delta MIN $ $\text{là tam giác đều }$