Ta sẽ chứng minh $M=1^4+2^4+...+n^4=\dfrac{n.(n+1).(2n+1).(3n²+3n-1)}{30}$ theo phương pháp quy nạp

Với $n=1⇒M=1^4=1$

$\dfrac{1.(1+1)(2.1+1)(3.1²+3.1-1)}{30}=1$

$⇒$ đúng

Giả sử mệnh đề đúng với $n=k$

$⇒1^4+2^4+...+k^4=\dfrac{k(k+1)(2k+1)(3k²+3k-1)}{30}$

Ta phải chứng minh mệnh đề đúng với $n=k+1$

Tức là: $1^4+2^4+....+k^4+(k+1)^4=\dfrac{(k+1)(k+2)[2(k+1)+1][3(k+1)²+3(k+1)-1}]{30}$

$=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3k²+9k+5}{30}$

Thật vậy: $VT=\dfrac{k(k+1)(2k+1)(3k²+3k-1)}{30}+(k+1)^4$

$=\dfrac{(k+1)[k(2k+1)(3k²+3k-1)+30(k+1)³]}{30}$

$=\dfrac{(k+1)(6k^4+6k³–2k²+3k³+3k²-k+30k³+90k²+90k+30)}{30}$

$=\dfrac{(k+1)(6k^4+39k³+91k²+89k+30)}{30}$

$=\dfrac{(k+1)(k+2)(6k³+27k²+37k+15)}{30}$

$=\dfrac{(k+1)(k+2)(2k+3)(3k²+9k+5}{30}$

$=VP$

Do đó $M=1^4+2^4+...+n^4=\dfrac{n.(n+1).(2n+1).(3n²+3n-1)}{30}$

Với $S=1^4+2^4+...+100^4=\dfrac{100.(100+1).(2.100+1).(3.100²+3.100-1)}{30}=2050333330$