Đáp án:

Giả sử có số tự nhiên `n` thỏa: `n²+3n+5n²+3n+5⋮121`

Theo bài ra ta có :

`4(n^2+3n+5)⋮121`

`⇔[(2n+3)^2+11]⋮1214(n2+3n+5)⋮121`

`⇔[(2n+3)^2+11]⋮121.`
 Vì `n^2+3n+5n^2+3n+5 ⋮121` nên `n^2+3n+5n^2+3n+5 ⋮ 11 `

`⇒ (2n+3)^2⋮ 11.`
Mà `11` là số nguyên tố  `(2n+3)^2 ⋮ 121`
`⇒ (2n+3)^2+12`  không `⋮ 121`

`⇒n^2 + 9n +12` không chia hết cho `121`

giả sử n²+ 9n+ 12 chia hết cho 121

=> n²+ 9n+ 12 chia hết cho 11

Có n²+ 9n+ 12= n²- 2n+1+ 11n+ 11= (n-1)²+ 11(n+1) chia hết cho 11

Mà 11(n+1) chia hết cho 11

=> (n-1)² chia hết cho 11

=> n-1 chia hết cho 11

=> n= 11k+ 1

Thay n= 11k+1, ta đc

(11k+1)²+ 9(11k+1)+ 12 = 121k²+ 22k+ 1+ 99k+9+ 12= 121k²+ 121k+ 22 không chia hết cho 121 (vô lý)

Vậy n²+ 9n+ 12 không chia hết cho 121