Bài 3:

Kẻ DM ⊥ DK cắt BC tại M

Xét ΔHAD và ΔMCD có:

   góc A= góc C=90

   AD=DC(ADCD là hình vuông)

   ADH=MDC(cùng phụ với HDC)

⇒ΔHAD = ΔMCD(cgv-gn) ⇒ HD=DM(2 cạnh tương ứng)

Xét Δvuông DKM có DC là đg cao

  ⇒$\frac{1}{DC²}$ =$\frac{1}{DK²}$ +$\frac{1}{DM²}$

   mà HD=DM(cmt)⇒HD²=DM²

⇒$\frac{1}{DC²}$ =$\frac{1}{DK²}$ +$\frac{1}{HD²}$ 

   vì DC là độ dài cạnh của hình vuông ABCD có độ dài ko đổi⇒DC² luôn ko đổi

⇒$\frac{1}{DK²}$ +$\frac{1}{HD²}$ luôn ko đổi khi H thay đổi trên cạnh AB(đpcm)

Bài 4:

Xét ΔABC có AD là tia phân giác góc A(gt)

    ⇒$\frac{AB}{AC}$ =$\frac{BD}{DC}$ =$\frac{36}{60}$ =$\frac{3}{5}$ (hệ thức lượng)

    ⇒$\left \{ {{AB=3t} \atop {AC=5t}} \right.$ 

Có BC=BD+DC=36+60=96(cm)

  Áp dụng định lí pytago vào Δvuông ABC có 

     AB²+AC²=BC²

⇒9t²+25t²=96²

⇒34t²=9216

⇔t²=4601/17

⇔t≈16(cm)

⇒AB=48cm;AC=80cm

Xét ΔABC vuông tại A cóAH là đg cao

⇒AB²=BH.BC(hệ thức lượng )

⇒BH=48²/96=24(cm)

⇒HC=BC-BH=96-24=72 cm

vậy $\frac{HB}{HC}$ =$\frac{24}{72}$ =$\frac{1}{3}$ 

 b,Xét ΔABC vuông tại A cóAH là đg cao

⇒AH²=BH.HC(hệ thức lượng )

⇒AH²=24.72=1728

⇒AH≈41 cm

Bài 5:

a, Xét Δvuông AHB có HE là đg cao

  ⇒AE.AB=AH²  (hệ thức lượng )     (1)

Xét Δvuông AHC có HF là đg cao

  ⇒AF.AC=AH²(hệ thức lượng )       (2)

Từ (1)(2)⇒AE.AB=AF.AC(đpcm)

b,Xét Δvuông ABC có AH là đg cao

    ⇒AB²=BH.BC và AC²=HC.BC(hệ thức lượng )

⇒AB²/AC² = BH/HC

Xét ΔAHB vuông tại H có HE là đg cao

⇒HB²=EB.AB(hệ thức lượng)⇒EB=HB²/AB

Xét ΔAHC vuông tại H có HF là đg cao

  ⇒HC²=FC.AC(hệ thức lượng )⇒FC=HC²/AC

có EB/FC=HB²/AB . AC/HC²=HB²/HC² . AB/AC=(AB/AC)² . AB/AC=(AB/AC)³(đpcm)

c,ΔABC vuông tại A có AH là đường cao

⇒AB.AC=AH.BC và AH²=BH.CH(hệ thức lượng)

⇒ BC.BE.CF=BC.$\frac{BH²}{AB}$ .$\frac{CH²}{AC}$ =BC.$\frac{AH^{4}}{AH.BC}$ =AH³(đpcm)