Đáp án+Giải thích các bước giải:

Ta có: `(x-y)^2>=0` `<=>x^2-xy+y^2>=xy`

`<=>(x+y)(x^2-xy+y^2)>=xy(x+y)`

`<=>x^3+y^3>=x^2y+xy^2` với `x,y` không âm. 

 Có: `2(a^3+b^3+c^3)` `<=>(a^3+b^3)+(b^3+c^3)+(a^3+c^3)`

Vì `a,b,c` không âm, áp dụng BĐT `x^3+y^3>=x^2y+xy^2` ta được:

`(a^3+b^3)+(b^3+c^3)+(a^3+c^3)>=a^2b+ab^2+b^2c+bc^2+a^2c+ac^2`

`<=>2(a^3+b^3+c^3)>=(a^2b+a^2c)+(b^2c+b^2a)+(c^2a+c^2b)`

`<=>2(a^3+b^3+c^3)>=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)` 

Dấu `=` xảy ra khi `a=b=c`

Vậy đpcm.

$\text{Ta chứng minh BĐT:}x^3+y^3\ge x^2y +xy^2\\\to  (x^3-x^2y) + (y^3-xy^2)\ge 0\\\to x^2(x-y)-y^2(x-y)\ge 0\\\to (x-y)^2(x+y)\ge 0\text{(Luôn đúng)}\\\text{Dấu "=" xảy ra khi:}\\x=y\\\text{Vận dụng BĐT vừa chứng minh vào bài ta được:}\\\begin{cases} a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\\b^3+c^3\ge b^2c+bc^2\\a^3+c^3\ge a^2c+ac^2 \end{cases}\\\to 2(a^3+b^3+c^3)\ge (a^2b +a^2c)+(b^2c+b^2a) + (c^2a+c^2b)\\\to 2(a^3+b^3+c^3)\ge a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)\\\text{Dấu "=" xảy ra khi:}\\a=b=c$