a) Xét ΔBCD ta có:

+) K là trung điểm của BD (GT)

+) N là trung điểm của BC (GT)

=> KN là đường TB của tam giác BCD 

=> KN // CD (1)
Xét ΔABD ta có:

+) K là trung điểm của BD (GT)

+) M là trung điểm của AD (GT)

=> KM là đường TB của tam giác ABD

=> KM // AB

Mà: AB // CD (GT)

=> KM // CD (2)

Từ (1) và (2) => K, M, D thẳng hàng

b) Ta có: KN là đường TB của tam giác BCD  (cmt)

$\Rightarrow KN=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}.6=3\left(cm\right)$

Ta có: KM là đường TB của tam giác ABD (cmt)

$\Rightarrow KM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.4=2\left(cm\right)$

Có: MN = KM + KN = 2 + 3 = 5 (cm)

a)* Xét ΔBCD, có:

\(\left[ \begin{array}{l}BN=NC(gt)\\BK=KD(gt)\end{array} \right.\) =>$KN$ là đường trung bình của ΔBCD=>$KN//DC$

Góc K1+ góc K3=180 độ

Mà:\(\left[ \begin{array}{l}\widehat{K4}=\widehat{K3}( đđ )
\\\widehat{K2}=\widehat{K1}( đđ )

\end{array} \right.\) =>$\widehat{K1}$+$\widehat{K4}$=180 độ

=>M,K,N thẳng hàng

b)*

Xét hình thang  ABCD, có:

\(\left[ \begin{array}{l}AM=MD(gt)\\BN=NC(gt)\end{array} \right.\) =>$MN$ là đường trung bình của hình thang ABCD=>$MN//AB//CD$

=>$MN=\frac{AB+CD}{2}$

=>$MN=\frac{4cm+6cm}{2}$

=>$MN= 5 (cm)$