Giả sử: $a//b$ và $c$ cắt $a,b$ tại $A,B$

a) $a//b$

$⇒\widehat{aAB}=\widehat{ABC}$ (so le trong)

Kẻ $Ax$ là phân giác $\widehat{aAB}$, $By$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$Ax$ là phân giác $\widehat{aAB}$

$⇒\widehat{xAB}=\dfrac{\widehat{aAB}}{2}$

$By$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$⇒\widehat{ABy}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}$

mà $\widehat{aAB}=\widehat{ABC}$

$⇒\widehat{xAB}=\widehat{ABy}$

mà 2 góc ở vị trí so le trong

$⇒Ax//By$

b) $a//b$

$⇒\widehat{A_1}=\widehat{ABC}$ (đồng vị)

Kẻ $Az$ là phân giác $\widehat{A_1}$, $By$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$Az$ là phân giác $\widehat{A_1}$

$⇒\widehat{cAz}=\dfrac{\widehat{A_1}}{2}$

$By$ là phân giác $\widehat{ABC}$

$⇒\widehat{ABy}=\dfrac{\widehat{ABC}}{2}$

mà $\widehat{A_1}=\widehat{ABC}$

$⇒\widehat{cAz}=\widehat{ABy}$

mà 2 góc ở vị trí đồng vị

$⇒Az//By$

c) $a//b$

$⇒\widehat{aAB}+\widehat{bBA}=180^o$ (trong cùng phía bù nhau)

Kẻ $Ax$ là phân giác $\widehat{aAB}$, $Bh$ là phân giác $\widehat{bBA}$

$Ax$ là phân giác $\widehat{aAB}$

$⇒\widehat{aAB}=2.\widehat{xAB}$

$Bh$ là phân giác $\widehat{bBA}$

$⇒\widehat{bBA}=2.\widehat{hBA}$

Từ hai điều trên 

$⇒\widehat{aAB}+\widehat{bBA}=2.\widehat{xAB}+2.\widehat{hBA}=180^o$

$⇒2.(\widehat{xAB}+\widehat{hBA})=180^o$

$⇒\widehat{xAB}+\widehat{hBA}=180^o:2=90^o$

Giả sử: $Ax$ cắt $Bh$ tại $D$

Xét $ΔDAB$:

$\widehat{DAB}+\widehat{DBA}=90^o$

$⇒\widehat{ADB}=180^o-90^o=90^o$

$⇒AD⊥BD$ hay $Ax⊥Bh$