Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$HE$ cắt $AB$ tại $M ⇒ $ góc $EAH = 2$ góc $HAM$
$HF$ cắt $AC$ tại $N ⇒ $ góc $FAH = 2$ góc $HAN$

$ ⇒ $ góc $EAF = $góc $EAH$ + góc $FAH$

$ = 2(HAM + HAN) = 2MAN = 2.90^{0} = 180^{0} ⇒ E; A; F$ thẳng hàng

$ ⇒ S_{EHF} = 2S_{AMHN}$ lớn nhất khi $S_{MBH} + S_{NHC} $ nhỏ nhất.

Đặt $: BC = a; BH = x; CH = y ⇒ x + y = a$

Tam giác $ MBH$ ~ $ABC$ theo tỷ số đồng dạng :

$ k = \frac{BH}{BC} = \frac{x}{a}$

$ ⇒ S_{MBH} = k².S_{ABC} = \frac{x^{2}}{a^{2}}.S_{ABC}$

Tương tự $: S_{NHC} = \frac{y^{2}}{a^{2}}.S_{ABC}$
$⇒ S_{MBH} + S_{NHC} = \frac{x^{2} + y^{2}}{a^{2}}.S_{ABC} ≥ \frac{(x + y)^{2}}{2a^{2}}.S_{ABC}$
$ ≥ \frac{a^{2}}{2a^{2}}.S_{ABC} ≥ \frac{1}{2}.S_{ABC} $
Vậy $: S_{EHF}$  lớn nhất $ ⇔S_{MBH} + S_{NHC} $ nhỏ nhất

Dấu = xảy ra $ ⇔ x = y ⇔ H$ là trung điểm $BC$