Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a)Xét ΔBAD và ΔBED,có:

góc BAD=góc BED(=90 độ)

BD chung 

góc ABD=góc EBD(BD là phân giác)

⇒ΔBAD=ΔBED(ch-gn)

=>BA=BE;DA=DE(2 cạnh tương ứng)

B và D nằm trên đường trung trực AE

=>BD là đường trung trực của AE(đpcm)

b)Xét ΔDAF và ΔDEC,có:

góc ADF=góc EDC(đối đỉnh)

DA=DE(cmt)

góc DAF=góc DEC(=90 độ)

⇒ΔDAF=ΔDEC(g-c-g)

⇒DF=DC(2 cạnh t/ứ)

c)Theo câu a,có:DA=DE(1)

Xét ΔDEC,có:

góc DEC=90 độ

⇒DC>DE(2)

Từ (1) và (2)⇒DC>DA

d)Ta có:

AF=EC(ΔDAF=ΔDEC)

BA=BE (cmt) 

Mà BF=BA+AF;BC=BE+EC 

⇒BF=BC

⇒ΔBFC cân tại B

Xét  ΔBFC và ΔBAE,có:

gócBAE=180 độ-góc B/2 và góc BFC=180 độ-góc B/2

=> góc BAE=BFC

Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

=>AE//FC(đpcm)

Bài 2:

a)Ta có:

ΔABC vuông cân tại A

⇒góc A1=góc A2=90 độ(1)

Cũng có: BH ⊥ AE

⇒ΔBAH vuông tại H

⇒góc B1+góc A2=90 độ(2)

Từ (1) và (2)⇒góc A1=góc B1

Xét ΔBAH và ΔACK có:

 AB = AC (ΔABC cân)

góc H1=góc K1=90 độ(CK ⊥ AE, BH ⊥ AE)

góc A1=góc B1(cmt)

=> ΔBAH = ΔACK (cạnh huyền - góc nhọn)

=> BH = AK (2 cạnh tương ứng)

b)Ta có:BH⊥AK;CK⊥AE

⇒BH//CK

⇒góc HBM=góc MCK(2 góc so le trong) (1)

Mà MAE+AEM=90 độ(2)

Và MCK+CEK=90 độ(3)

AEM=CEK(đối đỉnh) (4)

Từ (1);(2);(3);(4)⇒góc MAE=góc ECK(5)

Từ (1) và (5)⇒góc HBM=góc MAK

Ta có: AM là trung tuyến của tam giác vuông ABC nên AM = BM = MC = 1/2BC

Xét ΔMBH và ΔMAK,có:

 MA = MB (cmt)

góc HBM=góc MAK(cmt)

BH=AK(câu a)

⇒ΔMBH = ΔMAK (c - g - c)

c)Xét ΔAMH và ΔCMK,có:

AH=CK(ΔABH=ΔCAK)

MH = MK (ΔMBH = ΔMAK)

 AM = CM (AM là trung tuyến)

⇒ΔAMH=ΔCMK(c-c-c)

⇒Góc AMH=góc CMK(2 góc t/ứ)

Mà AMH+HMC=90 độ

⇒CMK+HMC=90 độ hay HMK=90 độ

Xét ΔHMK,có:

MK = MH

góc MHK=90 độ

=> ΔHMK vuông cân tại M

Bài 3:

Xét ΔAEN và ΔBNC,có:

AN=BN(gt)

góc ANE=góc CNB(đối đỉnh)

EN=NC(gt)

⇒ΔAEN=ΔBNC(c-g-c)

=> AE=BC (1)

Xét ΔAMD và ΔCMB,có:

AM=MC (gt)

góc AMD=góc CMB(đối đỉnh)
MD=MB (gt)

⇒ΔAMD=ΔCMB(c-g-c)

=> AD=BC (2)
Từ (1),(2) => AE=AD

⇒A là trung điểm ED

b)ta có:ABC+BAC+BCA=180 độ

       Mà góc ABC=góc EAB(ΔAEN=ΔBCN)

             góc ACB=góc CAD(ΔAMD=ΔCMB)
⇒CAD+BAC+EAB=180 độ

⇒E,A,D thẳng hàng

Bài 4:

a)Xét ΔAMC và ΔBME,có:

BM=MC(gt)

góc AMC=góc EMB(đối đỉnh)

AM=ME(gt)

⇒ΔAMC=ΔBME(c-g-c)

⇒AC=BE(2 cạnh t/ứ)

⇒góc BEM=góc AMC(2 góc t/ứ)

Mà 2 góc này ở vị trí so le trong

⇒AC//BE(đpcm)