Bài 6 :

BĐT tương đương :

$(\sqrt[]{a^2-b^2} + \sqrt[]{2ab-b^2})^2 > a^2$

$⇔ a^2-b^2+2ab-b^2+2\sqrt[]{(a^2-b^2).(2ab-b^2)}  > a^2$

$⇔ 2ab-2b^2 + 2\sqrt[]{(a^2-b^2).(2ab-b^2)} > 0 $ 

$⇔2b.(a-b) +2\sqrt[]{(a^2-b^2).(2ab-b^2)} > 0 $ 

Do $a>b; a,b>0 ⇒ 2b.(a-b) > 0$ mà $2\sqrt[]{(a^2-b^2).(2ab-b^2)} > 0$ với $a>b$

Do đó $2b.(a-b) +2\sqrt[]{(a^2-b^2).(2ab-b^2)} > 0 $ 

Vậy BĐT được chứng minh !

Bài 8 :

Ta có : $(a^{10}+b^{10}).(a^2+b^2) ≥ (a^8+b^8).(a^4+b^4)$

$⇔a^{12}+b^{12}+a^{10}b^2+b^{10}a^2 ≥ a^{12}+b^{12}+a^8b^4+a^4b^4$

$⇔a^{10}b^2-a^8b^4+a^2b^{10}-a^4b^8 ≥ 0 $

$⇔a^2b^2.(a^8-a^6b^2+b^8-a^2b^6) ≥ 0 $

$⇔a^2b^2.[a^6.(a^2-b^2))-b^6.(a^2-b^2)] ≥ 0 $

$⇔a^2b^2.(a^2-b^2).(a^6-b^6) ≥ 0 $

$⇔a^2b^2.(a^2-b^2)^2.(a^4+a^2b^2+b^4) ≥ 0 $ ( Luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra $⇔a=b$

B7

Ta có:
$(\sqrt[]{a^2-b^2}+\sqrt[]{2ab-b^2})^2$

$=a^2-b^2+2.\sqrt[]{a^2-b^2}.\sqrt[]{2ab-b^2}+2ab-b^2$
$=a^2+2ab-2b^2+2.\sqrt[]{(a-b)(a+b).b(2a-b)}$

Ta cần chứng minh $ab-b^2+\sqrt[]{(a-b)(a+b).b(2a-b)}>0$

Thật vậy, do $a>b⇒ab>b^2⇒ab-b^2$

Mà $\sqrt[]{(a-b)(a+b).b(2a-b)}>0∀a>b$

$⇒ab-b^2+\sqrt[]{(a-b)(a+b).b(2a-b)}>0$

$⇒2ab-b^2+2.\sqrt[]{(a-b)(a+b).b(2a-b)}>0$

$⇒a^2+2ab-b^2+2.\sqrt[]{(a-b)(a+b).b(2a-b)}>a^2$

Hay $(\sqrt[]{a^2-b^2}+\sqrt[]{2ab-b^2})^2>a^2$

$⇒đpcm $ (do $a>0$)

B8

Ta xét hiệu: `(a^10+b^10)(a^2+b^2)-(a^8+b^8)(a^4+b^4)`

`=a^12+a^2b^10+b^2a^10+b^12-a^12-b^8a^4-b^4a^8-b^12`

`=a^2b^10+b^2a^10-b^8a^4-b^4a^8`

`=a^2b^2(b^8+a^8-a^2b^6-b^2a^6)`

`=a^2b^2.(a^8-2a^6b^2+a^4b^4+a^6b^2-2a^4b^4+b^6a^2+a^4b^4-2a^2b^6+b^8)`

`=a^2b^2[a^4(a^4-2a^2b^2+b^4)+a^2b^2(a^4-2a^2b^2+b^4)+b^4(a^4-2a^2b^2+b^4)`

`=a^2b^2.(a^2-b^2)^2.(a^4+a^2b^2+b^2)`

Ta có: `a^2b^2.(a^2-b^2)^2≥0∀a;b`

`a^4+a^2b^2+b^4=a^4+2.a^2.\frac{1}{2}b^2+\frac{1}{4}b^4+\frac{3}{4}b^4`

`=(a^2+\dfrac{1}{2}b^2)^2+\frac{3}{4}b^4>0`

do `(a^2+\dfrac{1}{2}b^2)^2≥0` và $\dfrac{3}{4}b^4>0$

`⇒a^2b^2.(a^2-b^2)^2.(a^4+a^2b^2+b^2)≥0`

hay `(a^10+b^10)(a^2+b^2)-(a^8+b^8)(a^4+b^4)≥0`

hay `(a^10+b^10)(a^2+b^2)≥(a^8+b^8)(a^4+b^4)`