Gọi $M$ là trung điểm của $BC$

và $N$ là hình chiếu của $M$ lên $d$

Ta có:

$BK\perp d$

$CI\perp d$

$\Rightarrow BCIK$ là hình thang vuông tại $K, \, I$

Ta lại có:

$MB = MC$

$MN//BK//CI \, (\perp d)$

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của hình thang

$\Rightarrow MN= \dfrac{BK+ CI}{2}$
hay $2MN= BK + CI$

Gọi $D$ là giao điểm của $MH$ và $GE$

Ta có:

$AH//GE\, (\perp d)$

$\Rightarrow AH//GD$

Theo định lý Thales, ta được:

$\dfrac{MG}{MA} = \dfrac{GD}{AH} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow GD = \dfrac{1}{3}AH$

Ta cũng được: $DE//MN$

$\Rightarrow \dfrac{DE}{MN} = \dfrac{DH}{HM}$

Ta có: $\dfrac{MD}{MH} = \dfrac{MG}{MA} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \dfrac{DH}{MH} = \dfrac{2}{3}$

Do đó: $\dfrac{DE}{MN} = \dfrac{DH}{MH} = \dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow DE = \dfrac{2}{3}MN$

Ta được:

$GE = GD + DE= \dfrac{1}{3}AH + \dfrac{2}{3}MN = \dfrac{1}{3}AH + \dfrac{1}{3}(BK + CI)$

$\Leftrightarrow GE = \dfrac{AH + BK + CI}{3}$

Hay $AH + BK + CI = 3GE$