Giải thích các bước giải:

a,

Tam giác ABC vuông cân tại A nên  \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 45^\circ \)

Tam giác ADC vuông cân tại D nên \(\widehat {DAC} = \widehat {DCA} = 45^\circ \)

Ta có:

Tam giác ADC vuông cân tại D hay \(AD \bot DC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

\(\widehat {BCD} = \widehat {BCA} + \widehat {ACD} = 45^\circ  + 45^\circ  = 90^\circ  \Rightarrow BC \bot CD\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(AD//BC\)

Tứ giác ABCD có \(AD//BC,\,\,\,\widehat {ADC} = \widehat {DCB} = 90^\circ \) nên ABCD là hình thang vuông.

b,

Áp dụng định lí Pytago vào các tam giác vuông cân đã cho ta có:

\(\begin{array}{l}
AB = AC = \sqrt 2 \,\,\,\,\left( {cm} \right)\\
B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} = 2A{B^2} = 2.{\sqrt 2 ^2} = 4\\
 \Rightarrow BC = 2\left( {cm} \right)\\
AD = DC\\
A{D^2} + D{C^2} = A{C^2}\\
 \Leftrightarrow 2A{D^2} = {\sqrt 2 ^2}\\
 \Leftrightarrow A{D^2} = 1\\
 \Leftrightarrow AD = 1\left( {cm} \right)\\
 \Rightarrow {S_{ABCD}} = \frac{1}{2}\left( {AD + BC} \right).DC = \frac{1}{2}.\left( {1 + 2} \right).1 = \frac{3}{2}\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}\)