Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\Delta ABC$ vuông tại $B$

$\to BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=2\sqrt7$

Vì $BK$ là phân giác $\hat B$

$\to \dfrac{KA}{KC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac3{\sqrt7}$

$\to \dfrac{KA}{KA+KC}=\dfrac3{3+\sqrt7}$

$\to\dfrac{KA}{AC}=\dfrac3{3+\sqrt7}$

$\to AK=\dfrac3{3+\sqrt7}AC$

$\to AK=\dfrac{24}{3+\sqrt7}$

$\to KC=AC-AK=8-\dfrac{24}{3+\sqrt7}=-28+12\sqrt7$

Kẻ $KG//BC\to KG\perp AB$ vì $AB\perp BC$

$\to \dfrac{AG}{AB}=\dfrac{KG}{BC}=\dfrac{KA}{AC}=\dfrac3{3+\sqrt7}$

$\to KG=\dfrac{6\sqrt7}{3+\sqrt7}, AG=\dfrac{18}{3+\sqrt7}$

$\to GB=AB-AG=-21+9\sqrt7$

$\to KB=\sqrt{GK^2+GB^2}=\sqrt{(\dfrac{18}{3+\sqrt7})^2+(-21+9\sqrt7)^2}=\sqrt{2304-864\sqrt{7}}$

b.Vì $M$ là trung điểm $BC\to MB=MC$

Ta có: $MD, ME$ là phân giác $\widehat{AMB},\widehat{AMC}$

$\to\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{MA}{MB}=\dfrac{MA}{MC}=\dfrac{EA}{EC}$

$\to DE//BC$

c.Vì $DE//CB$

$\to \dfrac{DF}{BM}=\dfrac{AF}{AM}=\dfrac{EF}{CM}$

$\to FD=FE$

$\to F$ là trung điểm $DE$

d.Ta có: $DE//BC$

$\to \dfrac{PE}{PC}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{2EF}{2BM}=\dfrac{EF}{BM}$

Mà $\widehat{FEP}=\widehat{PBM}$

$\to\Delta PEF\sim\Delta PBM(c.g.c)$

$\to \widehat{EPF}=\widehat{BPM}$

$\to F, P, M$ thẳng hàng

Mà $A, F, M$ thẳng hàng

$\to A, P, M$ thẳng hàng