Giải thích các bước giải:

a.Vì $E\in Oy\to E(0,a)$ 

Để $\Delta ABE$ cân tại A
$\to AB=AE\to AB^2=AE^2$

$\to (5-1)^2+(-2-4)^2=(0-1)^2+(a-4)^2$

$\to a=4\pm\sqrt{51}$

b.Vì $F\in Oy\to F(0,b)$

Để $\Delta ABF$ vuông tại B
$\to AB\perp BF$

Mà $\vec{AB}=(4,-6), \vec{BF}=-5,b+2)\to 4(-5)+(-6)(b+2)=0\to b=-\dfrac{16}{3}$

c.Phương trình BC là :
$\dfrac{x+1}{-1-5}=\dfrac{y+1}{-1+2}$

$\to x+6y+7=0$

Gọi $AD\perp BC, D\in BC$

$\to \vec{BC}=(-6,1)$ là vector pháp tuyến của AD

$\to$Phương trình AD là :
$-6(x-1)+1(y-4)=0\to -6x+y+2=0$
$\to$Tọa độ D là nghiệm của hệ

$\begin{cases}x+6y+7=0\\-6x+y+2=0\end{cases}$

$\to x=\dfrac{5}{37} ,y=-\dfrac{44}{37}$

$\to D(\dfrac{5}{37} ,-\dfrac{44}{37})$

d.Tương tự câu c, gọi BE là đường thẳng vuông góc với AC,$\vec{AC}=(-2,-5)$

$\to $Phương trình BE là :  $-2(x-5)-5(y+2)=0\to -2x-5y=0$

$\to$Tọa độ trực tâm H của $\Delta ABC$ là giao của BE,AD là nghiệm của hệ

$\begin{cases} -2x-5y=0\\-6x+y+2=0 \end{cases}$

$\to x=\dfrac{5}{16},y=-\dfrac18\to H(\dfrac{5}{16},-\dfrac18)$