Đáp án:

$AH = \dfrac{8\sqrt{15}}{15}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$p = \dfrac{AB + AC + BC}{2} = \dfrac{6 + 7 + 8}{2} = \dfrac{21}{2}$

$\Rightarrow S = \sqrt{p(p - AB)(p - AC)(p - BC)} = \sqrt{\dfrac{21}{2}\cdot\left(\dfrac{21}{2} - 6\right)\cdot\left(\dfrac{21}{2} - 7\right)\cdot\left(\dfrac{21}{2} - 8\right)} = \dfrac{21\sqrt{15}}{4}$

Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $ΔABC$

Ta được:

$R = \dfrac{AB.AC.BC}{4S} = \dfrac{6.7.8}{4.\dfrac{21\sqrt{15}}{4}} = \dfrac{16\sqrt{15}}{15}$

Gọi $M$ là trung điểm $BC$

$\Rightarrow OM\perp BC$

$\Rightarrow BM = \dfrac{1}{2}BC = 4$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$R^2 = OB^2 = OM^2 + BM^2$

$\Rightarrow OM = \sqrt{OB^2 - BM^2} = \sqrt{\dfrac{16^2}{15} - 4^2} = \dfrac{4\sqrt{15}}{15}$

Ta lại có:

$AH = 2OM$ (Chứng minh theo đường thẳng Euler)

$\Rightarrow AH = 2.\dfrac{4\sqrt{15}}{15} = \dfrac{8\sqrt{15}}{15}$