Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

a) Giả sử $D'; E', F'$ theo thứ tự là trung điểm $AH; BH; CH$

Vẽ đường kính $BK$ của $O ⇒ OD = \dfrac{CK}{2}$

$AH⊥BC; CK⊥BC ⇒ AH//CK$ Tương tự $AK//CH$

$ ⇒ AHCK=$ là hình bình hành

$ ⇒ OD //= \dfrac{CK}{2} //= \dfrac{AH}{2} = D'H$

$ ⇒ AHCK$ là hình bình hành $ ⇒ DD'$ đi qua trung điểm $OH$

Tương tự $: EE'; FF'$ cũng đi qua trung điểm $OH$

Hay $DD'; EE', FF'$ đồng quy tại trung điểm của $OH$

( chính là tâm đường tròn $9$ điểm ( đường tròn Euler)

b) Gọi $M; N; P$ theo thứ tự là giao điểm của $DE; EF; FD$

với $CH; AH; BH$ ta có :

$ BD² - DH² = (BP² + DP²) - (HP² + DP²) = BP² - HP²$

$ BF² - FH² = (BP² + FP²) - (HP² + FP²) = BP² - HP²$

$ ⇒ BD² - DH² = BF² - FH²$

$ ⇔ (BD - DH)(BD + DH) = (BF - FH)(BF + FH)$

$ ⇔ (BD - DA_{1})(BD + DA_{2}) = (BF - FC_{2})(BF + FC_{1})$

$ ⇔ BA_{1}.BA_{2} = BC_{2}.BC_{1} ⇔ A_{1}; A_{2}; C_{1}; C_{2}$ cùng thuộc một đường tròn

Tương tự : $ A_{1}; A_{2}; B_{1}; B_{2}$ cùng thuộc một đường tròn

$⇔ A_{1}; A_{2}; B_{1}; B_{2}; C_{1}; C_{2}$ cùng thuộc một đường tròn