Đáp án:

$\begin{array}{l}
a)Q = \dfrac{{{{10}^{101}} + 1}}{{{{10}^{102}} + 1}} < 1\\
 \Leftrightarrow \dfrac{{{{10}^{101}} + 1}}{{{{10}^{102}} + 1}} < \dfrac{{{{10}^{101}} + 1 + 9}}{{{{10}^{102}} + 1 + 9}}\\
 \Leftrightarrow Q < \dfrac{{{{10}^{101}} + 10}}{{{{10}^{102}} + 10}}\\
 \Leftrightarrow Q < \dfrac{{10.\left( {{{10}^{100}} + 1} \right)}}{{10\left( {{{10}^{101}} + 1} \right)}}\\
 \Leftrightarrow Q < \dfrac{{{{10}^{100}} + 1}}{{{{10}^{101}} + 1}}\\
 \Leftrightarrow Q < P
\end{array}$

b) Gọi ước chung lớn nhất của tử và mẫu là d

$\begin{array}{l}
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3a + 4 \vdots d\\
5a + 7 \vdots d
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5.\left( {3a + 4} \right) \vdots d\\
3.\left( {5a + 7} \right) \vdots d
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
15a + 20 \vdots d\\
15a + 21 \vdots d
\end{array} \right.\\
 \Leftrightarrow \left( {15a + 21} \right) - \left( {15a + 20} \right) \vdots d\\
 \Leftrightarrow 1 \vdots d\\
 \Leftrightarrow d = 1
\end{array}$

=> phân số là phân số tối giản