Đáp án:

Bài 1:

a) 1260

b) 660

c) 17640

d) 6

Bài 2:

a) 210

b) \(45{x^{20}}\)

c) \(252{x^5}\)

Giải thích các bước giải:

Bài 1:

a) Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là \(\overline {abcde} \)

\(\overline {abcde} \) là số chẵn \( \Rightarrow e \in \left\{ {0;2;4;6} \right\}\).

TH1: \(e = 0 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn e.

\(a \ne 0 \Rightarrow \) Có 6 cách chọn a.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại là \(A_5^3 = 60\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(1.6.60 = 360\) số.

TH2: \(e \in \left\{ {2;4;6} \right\} \Rightarrow \) Có 3 cách chọn e.

\(a \ne 0,\,\,a \ne e \Rightarrow \) Có 5 cách chọn a.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại là \(A_5^3 = 60\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(3.5.60 = 900\) số.

Vậy có \(360 + 900 = 1260\) số.

b) Gọi số tự nhiên có 5 chữ số là \(\overline {abcde} \)

\(\overline {abcde} \) chia hết cho 5 \( \Rightarrow e \in \left\{ {0;5} \right\}\).

TH1: \(e = 0 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn e.

\(a \ne 0 \Rightarrow \) Có 6 cách chọn a.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại là \(A_5^3 = 60\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(1.6.60 = 360\) số.

TH2: \(e = 5 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn e.

\(a \ne 0,\,\,a \ne e \Rightarrow \) Có 5 cách chọn a.

Số cách chọn 3 chữ số còn lại là \(A_5^3 = 60\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(1.5.60 = 300\) số.

Vậy có \(360 + 300 = 660\) số.

c) Gọi số có 8 chữ số là \(\overline {{a_1}{a_2}...{a_8}} \).

TH1: \({a_1} = 6 \Rightarrow \) Có 1 cách chọn \({a_1}\).

Chọn 1 vị trí cho số 6 còn lại có 7 cách chọn.

Chọn 6 chữ số còn lại có \(6! = 720\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(7.720 = 5040\) số.

TH1: \({a_1} \ne 6,\,\,{a_1} \ne 0 \Rightarrow \) Có 5 cách chọn \({a_1}\).

Chọn 2 vị trí cho 2 số 6 có \(C_7^2 = 21\).

Chọn 5 chữ số còn lại có \(5! = 120\) cách.

\( \Rightarrow \) Có \(5.21.120 = 12600\) số.

Vậy có \(5040 + 12600 = 17640\) số.

d) Gọi số có 4 chữ số là \(\overline {abcd} \).

Chọn 2 vị trí cho số 1 có \(C_4^2 = 6\) cách.

Chọn 2 vị trí còn lại cho số 2 có 1 cách.

Vậy có 6 số thỏa mãn.

Bài 2:

\({\left( {{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{10 - k}}{{\left( {{x^{ - 2}}} \right)}^k}}  = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{30 - 5k}}} \).

a) Số hạng không chứa x ứng với \(30 - 5k = 0 \Leftrightarrow k = 6\).

Vậy số hạng không chứa x là \(C_{10}^6 = 210\).

b) Số hạng không chứa \({x^{20}}\) ứng với \(30 - 5k = 20 \Leftrightarrow k = 2\).

Vậy số hạng chứa \({x^{20}}\) là \(C_{10}^2{x^{20}} = 45{x^{20}}\).

c) Tổng trên có 11 số hạng, do đó số hạng chính giữa là số hạng thứ \(\left[ {\frac{{11}}{2}} \right] + 1 = 6\).

Số hạng thứ 6 là số hạng chứa \({x^5}\), ứng với \(30 - 5k = 5 \Leftrightarrow k = 5\).

Vậy số hạng chính giữa là \(C_{10}^5.{x^5} = 252{x^5}\).