`GT:`

$∆ABC\perp $ tại $A$

Đường cao $AH$, phân giác $BD$

$AH∩BD=E$

`Q` trung điểm $ED$; $BG$//$AQ$ $(G\in AH)$

`KL:`

`a)` `∆HBA∽∆ABC`

`b)` `AB=6cm;AC=8cm; AD=?;CD=?`

`c)` `∆ADE` cân

`d)` `EH.GA=EA.GH`

Giải:

`a)` Xét $∆HBA$ và $∆ABC$ có:

`\qquad \hat{B}` chung

`\qquad \hat{AHB}=\hat{CAB}=90°`

`=>∆HBA∽∆ABC` (g-g)

$\\$

`b)` `AB=6cm; AC=8cm`

$∆ABC$ vuông tại $A$

`=>BC^2=AB^2+AC^2` (định lý Pytago)

`=>BC=\sqrt{6^2+8^2}=10cm`

`AD` là phân giác `\hat{ABC}` (gt)

`=>{AD}/{CD}={AB}/{BC}=6/{10}=3/5` (tính chất phân giác)

`=>{AD}/3={CD}/5`

`={AD+CD}/{3+5}={AC}/8=8/8=1` (tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

`=>{AD}/3=1=>AD=3cm`

`\qquad {CD}/5=1=>CD=5cm`

Vậy `AD=3cm;CD=5cm`

$\\$

`c)` Xét $∆ABD$ vuông tại $A$

`=>\hat{ADB}+\hat{B_1}=90°` (hai góc phụ nhau)

`=>\hat{ADE}+\hat{B_1}=90°` `(1)`

Xét $∆BEH$ vuông tại $H$

`=>\hat{BEH}+\hat{B_2}=90°` (hai góc phụ nhau)

Vì `\hat{BEH}=\hat{AED}` (hai góc đối đỉnh)

`=>\hat{AED}+\hat{B_2}=90°` `(2)`

Ta có: `\hat{B_1}=\hat{B_2}` `(3)`

 (`BD` là phân giác `\hat{ABC})`

Từ `(1);(2);(3)=>\hat{ADE}=\hat{AED}`

`=>∆ADE` cân tại $A$ (đpcm)

$\\$

`d)` $∆ADE$ cân tại $A$ (câu c) và `Q` là trung điểm $DE$ (gt)

`=>AQ` vừa là trung tuyến và đường cao $∆ADE$

`=>AQ`$\perp DE$

Vì  `BG`//$AQ$ (gt)

`=>BG`$\perp DE$

`=>BG`$\perp BE$

Vì $BE$ là phân giác trong của `\hat{ABH}`

`=>{EA}/{EH}={BA}/{BH}` `(4)` (tính chất phân giác)

và `BG` là phân giác góc ngoài của $∆ABH$

`=>{GA}/{GH}={BA}/{BH}` `(5)` (tính chất phân giác)

$\\$

Từ `(4);(5)=>{EA}/{EH}={GA}/{GH}`

`=>EH.GA=EA.GH` (đpcm)

____________

Tính chất: phân giác trong và phân giác ngoài tại 1 đỉnh vuông góc với nhau (có thể áp dụng trực tiếp) 

Hoặc nếu muốn chứng minh `BG` là phân giác ngoài của `∆ABH` thì có thể tham khảo:

Vẽ tia đối `Bm` của tia `BA`

Ta có `\hat{ABm}=180°`

`=>\hat{B_1}+\hat{B_2}+\hat{B_3}+\hat{B_4}=180°`

`=>\hat{B_1}+\hat{EBG}+\hat{B_4}=180°`

`=>\hat{B_1}+90°+\hat{B_4}=180°`

`=>\hat{B_1}+\hat{B_4}=90°`

Mà: `\hat{B_2}+\hat{B_3}=\hat{EBG}=90°`

và `\hat{B_1}=\hat{B_2}` 

`=>\hat{B_3}=\hat{B_4}`

`=>BG` là phân giác của `\hat{HBm}`

`=>BG` là phân giác ngoài của $∆ABH$