a) Xét tứ giác ABHD có:

\(\widehat {BAD} = \widehat {ADH} = \widehat {BHD} = {90^0}\) (gt)

\( \Rightarrow ABHD\) là hình chữ nhật (Tứ giác có 3 góc vuông).

Lại có \(AB = AD\) nên \(ABHD\) là hình vuông (Hình chữ nhật có 2 cạnh kề bằng nhau).

b) ABHD là hình vuông nên \(\widehat {ABH} = {90^0}\).

Xét \(\Delta ABM\) và \(\Delta CMH\) có:

\(\widehat {ABM} = \widehat {CHM} = {90^0}\);

\(BM = HM\,\,\left( {gt} \right)\);

\(AB = HC = \frac{1}{2}CD\).

\( \Rightarrow \Delta ABM = \Delta CHM\,\,\left( {g.c.g} \right)\).

\( \Rightarrow AM = CM\) (2 cạnh tương ứng).

Mà A, M, C thẳng hàng.

Vậy M là trung điểm của AC.

c) \(\Delta ABM = \Delta CHM\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {HCM}\) (2 góc tương ứng) (1)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\widehat {BAM} + \widehat {MAD} = {90^0}\\\widehat {ADP} + \widehat {MAD} = {90^0}\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {BAM} = \widehat {ADP}\)  (2)

Xét tam giác CDM có:

Đường cao MH đồng thời là trung tuyến nên \(\Delta CDM\) cân tại M

\( \Rightarrow \widehat {HCM} = \widehat {HDM}\) (2 góc ở đáy) (3)

Từ (1), (2) và (3) \( \Rightarrow \widehat {ADP} = \widehat {HDM}\).

Xét \(\Delta ADP\) và \(\Delta HDQ\) có:

\(\widehat {ADP} = \widehat {HDM}\,\,\left( {cmt} \right);\)

\(AD = HD\) (do ABHD là hình vuông).

\(\widehat {DAP} = \widehat {DHQ} = {45^0}\)  (do ABHD là hình vuông).

\( \Rightarrow \Delta ADP = \Delta HDQ\,\,\left( {g.c.g} \right)\)

d) Xét \(\Delta ABP\) và \(\Delta HDQ\) có:

\(AB = HD\) (do ABHD là hình vuông)

\(AP = HQ\) (do \(\Delta ADP = \Delta HDQ\))

\(\widehat {BAP} = \widehat {DHQ}\) (so le trong do \(AB\parallel HD\))

\( \Rightarrow \Delta ABP = \Delta HDQ\,\,\left( {c.g.c} \right)\)

\( \Rightarrow BP = DQ\).

Chứng minh tương tự \(\Delta ADP = \Delta HBQ \Rightarrow DP = BQ\)

\( \Rightarrow DPBQ\) là hình bình hành (Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau).

Mà \(DP = DQ\) (do \(\Delta ADP = \Delta HDQ\,\,\left( {cmt} \right)\))

Vậy BPDQ là hình thoi (Hình bình hành có 2 cạnh kề bằng nhau).