Giải thích các bước giải:

4)a, Tứ giác AEDF có AE ║ DF và AF ║ DE (gt) nên là hình bình hành

Mà AD là phân giác của $\widehat{EAF}$ (gt)

⇒ Hình bình hành AEDF là hình thoi (đpcm)

b, AEDF là hình thoi ⇒ AF = DE mà AF = FG (gt)

⇒ FG = DE

Tứ giác EFGD có FG ║ DE và FG = DE nên là hình bình hành (đpcm)

c, Tứ giác ADGI có 2 đường chéo AG, DI cắt nhau tại F là trung điểm của mỗi đường

⇒ ADGI là hình bình hành ⇒ DG ║ AI ⇒ DG ║ AK

Tứ giác AKDG có DG ║ AK, DK ║ AG (do DE ║ AB theo gt)

⇒ AKDG là hình bình hành

⇒ 2 đường chéo AD, GK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà O là trung điểm của AD (O là giao 2 đường chéo của hình thoi AEDF)

⇒ O là trung điểm của GK hay G đối xứng với K qua O (đpcm)

d, Để hình bình hành ADGI là hình vuông thì DI ⊥ AG và DA = DG

* DI ⊥ AG ⇔ AC ⊥ AB (do DF ║ AE) ⇔ ΔABC vuông tại A

* DA = DG mà AD là phân giác $\widehat{A}$ của ΔABC vuông tại A

⇒ $\widehat{DAG}$ = $45^{o}$

⇔ ΔDAG vuông cân tại D ⇔ AD là phân giác, đồng thời cũng là đường cao của ΔABC

⇔ ΔABC vuông cân tại A

5) (1 - $\frac{1}{2^2}$)(1 - $\frac{1}{3^2}$)(1 - $\frac{1}{4^2}$)...(1 - $\frac{1}{2019^2}$)

= (1-$\frac{1}{2}$)(1+$\frac{1}{2}$)(1-$\frac{1}{3}$)(1+$\frac{1}{3}$)...(1-$\frac{1}{2019}$).(1+$\frac{1}{2019}$)

= $\frac{1}{2}$.$\frac{3}{2}$.$\frac{2}{3}$.$\frac{4}{3}$....$\frac{2018}{2019}$.$\frac{2020}{2019}$

= ($\frac{1}{2}$.$\frac{2}{3}$...$\frac{2018}{2019}$).($\frac{3}{2}$.$\frac{4}{3}$...$\frac{2020}{2019}$)

= $\frac{1}{2019}$.$\frac{2020}{2}$ 

 = $\frac{1010}{2019}$