Đáp án:

$V_{S.ABC}=\dfrac{a^3\sqrt{11}}{12}$

$V_{M.ABC} = \dfrac{a^3\sqrt{11}}{18}$

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$∆ABC$ đều cạnh $a$

$\Rightarrow S_{ABC} = \dfrac{a^2\sqrt3}{4}$

Gọi $O$ là tâm của $∆ABC$

$\Rightarrow SO\perp (ABC)$

$\Rightarrow AO = \dfrac{a\sqrt3}{3}$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$SA^2 = SO^2 + AO^2$

$\to SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{4a^2 - \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{33}}{3}$

Do đó:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SO = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4}\cdot\dfrac{a\sqrt{33}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{11}}{12}$

Kẻ $MH\perp (ABC)$

$\Rightarrow MH//SO$

Áp dụng định lý $Thales$ ta được:

$\dfrac{AM}{SA} = \dfrac{MH}{SO}$

$\to \dfrac{\dfrac{2}{3}SM}{SM} = \dfrac{MH}{SO}$

$\to \dfrac{MH}{SO} = \dfrac{2}{3}$

$\to MH = \dfrac{2}{3}SO$

$\to V_{M.ABC} = \dfrac{2}{3}V_{S.ABC} = \dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{a^2\sqrt{11}}{12}= \dfrac{a^3\sqrt{11}}{18}$