$\textit{Em tham khảo nha:}$

$\textit{ Nối B và D, A và C }$

$\textit{ Xét tam giác ABD có: E là trung điểm AB và N là trung điểm AD}$

$\textit{ => EN là đường trung bình }$

$\textit{ => EN // BD }$

$\textit{ Xét tam giác BDC có: F là trung điểm BC và M là trung điểm DC}$

$\textit{ => MF là đường trung bình }$

$\textit{ => MF // BD }$

$\textit{ => EN // MF (1) }$

$\textit{ Xét tam giác ADC có: N là trung điểm BC và M là trung điểm DC}$

$\textit{ => MN là đường trung bình }$

$\textit{ => MN // AC }$

$\textit{ Xét tam giác ABC có: E là trung điểm BA và F là trung điểm BC}$

$\textit{ => EF // AC }$

$\textit{ => MN // EF(2) }$

$\textit{Từ (1) và (2) => Tứ giác EFMN là hình bình hành}$

$\textit{b, Nếu AC vuông góc vs BD =>góc FED = 90 }$

$\textit{Tứ giác EFMN là hình bình hành có góc FED bằng 90}$

$\textit{=> EFMN là hình chữ nhật}$

a)
Nối B và D
Xét ΔABD có
+ N là trung điểm AD
+ E là trung điểm AB
⇒ EN là đường trung bình ΔABD
⇒ $\left \{ {{EN//BD} \atop {EN=BD:2}} \right.$ (1)
Xét ΔCBD có
+ F là trung điểm BC
+ M là trung điểm CD
⇒ MF là đường trung bình ΔCBD
⇒ $\left \{ {{MF//BD} \atop {MF=BD:2}} \right.$ (2)
Từ (1),(2)⇒ EFMN là hình bình hành
b) 
Gọi giao điểm AC và BD là G
Gọi giao điểm AG và NE là H
Giả sử $\widehat{G}$=$90^\circ$
Vì NE//BD⇒ $\widehat{H}$=$90^\circ$
⇔ $\widehat{E}$=$90^\circ$
⇒ NEFM là hình chữ nhật
Vậy nếu AC⊥BD thì NEFM là hình chữ nhật