Đáp án+Giải thích các bước giải:

$a)$Xét $\Delta HAC$ và $\Delta ABC$

$\widehat{C}:$ chung

$\widehat{AHC}=\widehat{BAC}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta HAC \backsim \Delta ABC (g.g)$

$b)\Delta ABC$ vuông tại $A$

$\Rightarrow BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=50(cm)\\  \Delta HAC \backsim \Delta ABC\\ \Rightarrow \dfrac{AH}{AB}=\dfrac{AC}{BC}\\ \Rightarrow AH=\dfrac{AC}{BC}.AB=24(cm)$

$\Delta ABC$, phân giác $BD$

$\Rightarrow \dfrac{DA}{DC}=\dfrac{BA}{BC}=\dfrac{3}{5}\\ \Rightarrow DC=\dfrac{5}{3}DA$

Có $DA+DC=AC=40(cm)$

$\Rightarrow DA=15(cm)$

$c)$Xét $\Delta BAD$ và $\Delta BHI$

$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$ ($BD$ là phân giác $\widehat{ABC}$)
$\widehat{BAD}=\widehat{BHI}=90^\circ\\ \Rightarrow \Delta BAD \backsim \Delta BHI (g.g)\\ \Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{I_1}$

Mà $\widehat{I_1}=\widehat{I_2}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow \widehat{D_1}=\widehat{I_2}$

$\Rightarrow \Delta AID$ cân tại $A$

$\Rightarrow AI=AD.$