Giải thích các bước giải:

 1.Gọi $AD\cap CE=F$

Ta có : $EB\perp AC, EB=BC, AB=BD\to \Delta ABD, EBC$ vuông cân tại B

$\to \widehat{EDF}=\widehat{ADB}=45^o, \widehat{BEC}=\widehat{BCE}=45^o$

$\to \widehat{DFE}=90^o\to AD\perp CE$

Mà $ED\perp AC\to D$ là trực tâm $\Delta ACE\to CD\perp AE$

Ta có : $AB=BD, BE=BC,\widehat{ABE}=\widehat{DBC}=90^o$

$\to\Delta ABE=\Delta DBC(c.g.c)\to AE=CD$

2.Kẻ $FH\perp AC=H$

Vì $\widehat{FAC}=\widehat{FCA}=45^o\to\Delta FAC$ vuông cân tại F

$\to FH\perp AC=H$ là trung điểm AC
$\to FH=\dfrac12AC$

Ta có : $M,N$ là trung điểm AE,CD, $AB\perp BE, DB\perp BC, DF\perp FC, AF\perp EF$

$\to MF=MB=\dfrac12AE=\dfrac12CD=BN=FN$

$\to BMFN$ là hình thoi

$\to BF\cap MN=I$ là trung điểm mỗi đường

Kẻ $IG\perp AC\to IG//FH\to IG$ là đường trung bình $\Delta BFH$ vì I là trung điểm BF

$\to IG=\dfrac12FH=\dfrac14AC$ không đổi

3.Từ câu 1 $\to S_{ABE}+S_{BCD}=2S_{ABE}=AB.BE=AB.BC$ vì $\Delta BCE$ vuông cân tại B

$\to S_{ABE}+S_{BCD}\le \dfrac{(AB+BC)^2}{4}=\dfrac{AC^2}{4}$

Dấu = xảy ra khi $AB=BC\to B$ là trung điểm AC

@Munz