Câu 1:

Vì $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác

Nên $a,b,c>0$ và $b+c>a\,;\,c+a>b\,;\,a+b>c$

Do đó, ta luôn có:

+    $\dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a}{b+c}<\dfrac{2a}{a+b+c}$

+    $\dfrac{b}{a+b+c}<\dfrac{b}{c+a}<\dfrac{2b}{a+b+c}$

+    $\dfrac{c}{a+b+c}<\dfrac{c}{a+b}<\dfrac{2c}{a+b+c}$

Cộng vế theo vế,

Ta được $\dfrac{a+b+c}{a+b+c}<\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}<\dfrac{2\left( a+b+c \right)}{a+b+c}$

$\to 1<\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}<2$

 

 

Câu 2:

$A=\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{b+c+d}+\dfrac{c}{c+d+a}+\dfrac{d}{d+a+b}$

Do $a,b,c,d>0$

Nên ta luôn có:

+    $\dfrac{a}{a+b+c+d}<\dfrac{a}{a+b+c}<\dfrac{a+d}{a+b+c+d}$

+    $\dfrac{b}{a+b+c+d}<\dfrac{b}{b+c+d}<\dfrac{a+b}{a+b+c+d}$

+    $\dfrac{c}{a+b+c+d}<\dfrac{c}{c+d+a}<\dfrac{b+c}{a+b+c+d}$

+    $\dfrac{d}{a+b+c+d}<\dfrac{d}{d+a+b}<\dfrac{c+d}{a+b+c+d}$

Cộng vế theo vế lại, ta được:

$\dfrac{a+b+c+d}{a+b+c+d}<A<\dfrac{2\left( a+b+c+d \right)}{a+b+c+d}$

$\to 1<A<2$

Vì $A$ bị kẹp giữa hai số tự nhiên liên tiếp

Nên $A$ không thể là số nguyên