Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AH \bot BC = H;BH = 1,8cm;CH = 3,2cm\\
 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
BC = BH + CH = 5cm\\
A{H^2} = BH.CH \Rightarrow AH = \sqrt {BH.CH}  = 2,4cm\\
A{B^2} = BH.BC \Rightarrow AB = \sqrt {BH.BC}  = 3cm\\
A{C^2} = CH.CB \Rightarrow AC = \sqrt {CH.CB}  = 4cm
\end{array} \right.
\end{array}$

Vậy $AH = 2,4cm;AB = 3cm;AC = 4cm$

b) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat A = {90^0};AB = 3cm;AC = 4cm;BC = 5cm\\
 \Rightarrow \sin B = \dfrac{{AC}}{{BC}} = \dfrac{4}{5}\\
 \Rightarrow \widehat B \approx {53^0}\\
 \Rightarrow \widehat C \approx {37^0}
\end{array}$

Vậy $\widehat B \approx {53^0};\widehat C \approx {37^0}$

c) Ta có:

$BD$ là tia phân giác của góc $B$ nên áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: 

$\dfrac{{DA}}{{DC}} = \dfrac{{BA}}{{BC}} = \dfrac{3}{5} \Rightarrow DA = \dfrac{3}{5}DC$

Lại có:

$\begin{array}{l}
DA + DC = AC = 4\\
 \Leftrightarrow \dfrac{3}{5}DC + DC = 4\\
 \Leftrightarrow \dfrac{8}{5}DC = 4\\
 \Leftrightarrow DC = \dfrac{5}{2} = 2,5cm\\
 \Rightarrow AD = 1,5cm
\end{array}$

Xét $\Delta ABD;\widehat {BAD} = {90^0};AB = 3cm;AD = 1,5cm$

$ \Rightarrow BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}}  = \dfrac{{3\sqrt 5 }}{2} \approx 3,354cm$

Vậy $BD \approx 3,354cm$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta ABD;\widehat {BAD} = {90^0};AB = 3cm;AD = 1,5cm\\
 \Rightarrow \tan \widehat {ABD} = \dfrac{{AD}}{{AB}} = \dfrac{{1,5}}{3} = \dfrac{1}{2}
\end{array}$

Mà $\dfrac{{AC}}{{AB + BC}} = \dfrac{4}{{3 + 5}} = \dfrac{1}{2}$

Nên $\tan \widehat {ABD} = \dfrac{{AC}}{{AB + BC}}$

Ta có đpcm.