Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

Do $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ nên $AH\bot BC;BH\bot AC; CH\bot AB$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
BH \bot AC\\
Cy \bot AC
\end{array} \right. \Rightarrow BH//Cy \Rightarrow BH//CD\\
\left\{ \begin{array}{l}
CH \bot AB\\
Bx \bot AB
\end{array} \right. \Rightarrow CH//Bx \Rightarrow CH//BD
\end{array}$

Xét tứ giác $BHCD$ có: $CH//BD;BH//CD$

$\to BHCD$ là hình bình hành.

b) Ta có:

$BHCD$ là hình bình hành.

$\to BC,DH$ giao nhau tại trung điểm mỗi đường.

Mà $O$ là trung điểm của $BC$ $\to O$ là trung điểm của $DH$

$\to H,O,D$ thẳng hàng.

c) Ta có:

$O,I$ lần lượt là trung điểm của $DH,DA$

$\to OI$ là đường trung bình của tam giác $AHD$

$\to OI//AH; OI=\dfrac{AH}{2}$

Mà $AH\bot BC \to OI\bot BC$

Ta có đpcm.

d) Gọi $G'$ là giao điểm của $HI$ và $AO$

Ta có:

$O,I$ lần lượt là trung điểm của $DH,DA$ và $G'$ là giao điểm của $HI$ và $AO$

$\to G'$ là trọng tâm của tam giác $AHD$

$ \Rightarrow AG' = \dfrac{2}{3}AO(1)$

Mà lại có:

$G$ là trọng tâm tam giác $ABC$

$ \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AO\left( 2 \right)$

Từ $(1),(2)$$ \Rightarrow G \equiv G'$

$\to H,G,I$ thẳng hàng.