a) Ta có:

$M$ đối xứng $K$ qua $AB$

$\Rightarrow AB$ là trung trực của $MK$

$\Rightarrow AB$ là phân giác của $\widehat{KAM}$

$\Rightarrow \widehat{KAM} = 2\widehat{KAB}$

Tương tự, ta được:

$\widehat{KAN} = 2\widehat{KAC}$

$\Rightarrow \widehat{KAM} + \widehat{KAN} = 2(\widehat{KAB} + \widehat{KAC}) = 2\widehat{BAC} = 180^o$

$\Rightarrow M,A,N$ thẳng hàng

b) Ta có:

$AB$ là trung trực của $MK$

$\Rightarrow AK = AM; \, BK = BM$

$\Rightarrow ΔABK = ΔABM \, (c.c.c)$

$\Rightarrow \widehat{AMB} = \widehat{AKB} = 90^o$

$\Rightarrow BM\perp AM$

$\Rightarrow BM\perp MN$

Chứng minh tương tự, ta được: $CN\perp MN$

$\Rightarrow BM//CN$

$\Rightarrow BMNC$ là hình thang

c) Ta có:

$AM = AK;\, AN = AK$ (câu b)$

$\Rightarrow AM + AN = 2AK$

$\Rightarrow MN = 2AK$