được AH là đường cao AH đúng k ạ ?

a.

Có : AH là đường cao của Δ ABC=>  goc AHB=90⁰

Δ AHB vuông tại H có AM là đường cao

=> AM.AB = AH² ( hệ thức lượng trong Δ vuông )

Δ AHC vuong tai H có AN là đường cao

=> AN.AC = AH² ( hệ thức lượng trong Δ vuông )

=> AM.AB =AN.AC ( cùng = $AH^{2}$ )

b,

Ta có: 

$S_{ABC}$ =$\frac{1}{2}$ AB.ACsinA

 Kẻ BH⊥AC. Khi đó $S_{ABC}$ =$\frac{BH.AC}{2}$ 

Mà: $\frac{BH}{AB}$ =sinA⇒BH=AB.sinA

⇒$S_{ABC}$ =$\frac{BH.AC}{2}$ =$\frac{AB.sinA.AC}{2}$  

Áp dụng công thức trên vào bài toán:

$S_{AMN}$ =$\frac{1}{2}$ .AM.ANsinA

$S_{ABC}$ =$\frac{1}{2}$ AB.ACsinA

⇒$\frac{SAMN}{SABC}$ =$\frac{AM.AN}{AB.AC}$ = $\frac{AM.AB.AN.AC}{AB^2.AC^2}$=$\frac{AH^2.AH^2}{AB^2.AC^2}$  (theo phần a)

=>( $\frac{AH}{AB}$ )^2 × ( $\frac{AH}{AC}$ )^2 =  $sin^{2}$ B × $sin^{2}$ C