1) Tứ giác $AHBE$ có 2 đường chéo $AB$ và $EH$ cắt nhau tại trung điểm $M$ của mỗi đường nên $AHBE$ là hình bình hành

Có thêm $\widehat{AHB}=90^o\Rightarrow AHBE$ là hình chữ nhật.

 

2) Tứ giác $AHBE$ là hình chữ nhật (chứng minh câu a) suy ra $AE\parallel=BH$ mà $BH\parallel=HC$

$\Rightarrow AE\parallel=HC$ $\Rightarrow AEHC$ là hình bình hành

Khi đó hai đường chéo $AH$ và $EC$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, $N$ là trung điểm của $AH\Rightarrow N$ là trung điểm của $EC$ (đpcm)

 

3) Do $N$ là trung điểm cạnh $AH$, $M$ là trung điểm cạnh $AB$ nên $NM$ là đường trung bình $\Delta AHB$

$\Rightarrow NM\parallel AH\Rightarrow NM\bot AH$

Và $NM=\dfrac{1}{2}.HB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}.BC=\dfrac{1}{4}.12=3$

Vậy $S_{AMH}=\dfrac{1}{2}.MN.AH=\dfrac{1}{2}.3.8=12$ (đơn vị diện tích)

 

4) Do $Q$ là trung điểm của $CK$ và $I$ là trung điểm của $HK$ nên $QI$ là đường trung tuyến của $\Delta CHK$

$\Rightarrow QI\parallel CH$ mà $CH\bot HF\Rightarrow QI\bot HF$

Xét $\Delta QHF$ có $QI$ và $HK$ là hai đường cao cắt nhau tại $I\Rightarrow I$ là trực tâm

$\Rightarrow FI\bot QH$ (đpcm).