Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: \(y = \left| {\frac{1}{2}{x^2} + 2\left| x \right| + 1} \right|.\)

Xét hàm số: \(y = f\left( x \right) = \frac{1}{2}{x^2} + 2x + 1\)

+) Đồ thị hàm số có đỉnh: \(I\left( { - 2;\, - 1} \right).\)

+) Đồ thị hàm số là parabol đi qua các điểm \(\left( { - 4;\,1} \right),\,\,\,\left( {0;\,\,1} \right),\,\,\,\left( { - 6;\,\,7} \right),\,\,\,\left( {2;\,\,7} \right).\)

Từ đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) ở trên, ta giữ lại phần đồ thị phía bên phải trục \(Oy,\) lấy đối xứng phần đồ thị được giữ lại đó sang bên trái trục \(Oy\) ta được đồ thị hàm số: \(y = f\left( {\left| x \right|} \right) = \frac{1}{2}{x^2} + 2\left| x \right| + 1.\)

Ta có: \[y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right| = \left| {\frac{1}{2}{x^2} + 2\left| x \right| + 1} \right| = \frac{1}{2}{x^2} + 2\left| x \right| + 1\]

\( \Rightarrow \)đồ thị hàm số \(y = \left| {f\left( {\left| x \right|} \right)} \right|\) chính là đồ thị hàm số:\(y = \frac{1}{2}{x^2} + 2\left| x \right| + 1.\)

Đồ thị hàm số như hình vẽ.