Giải thích các bước giải:

a.Ta có $M,N$ là trung điểm $AB,AC\to MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to MN//BC$

$\to MI//BH$

Mà $M$ là trung điểm $AB\to MI$ là đường trung bình $\Delta ABH$

$\to I$ là trung điểm $AH$

b.Ta có $N$ là trung điểm $AC$

            $Q,P$ đối xứng qua $N\to N$ là trung điểm $PQ$

$\to AQCP$ là hình bình hành

$\to AQ=CP, AQ//CP$

Vì $P$ là trung điểm $BC\to AQ=BP, QA//BP$

$\to AQPB$ là hình bình hành

c.Ta có $AH\perp BC, M$ là trung điểm $BC$

$\to \widehat{MHB}=\widehat{MBH}=\hat B=\widehat{NPC}$ vì $NP$ là đường trung bình $\Delta ABC\to NP//AB$

$\to \widehat{MHP}=180^o-\widehat{MHB}=180^o-\widehat{NPC}=\widehat{NPH}$

Lại có $MN//BC\to MN//HP$

$\to MHPN$ là hình thang cân

Đáp án :

a) Xét ΔABC có :

M là trung điểm của AB ( gt )

N là trung điểm của AC ( gt )

⇒ MN là đường trung bình của ΔABC 

⇒ MN // BC

Xét ΔABH có :

M là trung điểm của AB ( gt )

MI // BH ( vì MN // BC )

⇒ I là trung điểm của AH. 

b) Xét tứ giác APCQ có :

N là trung điểm của AC ( gt ) 

N là trung điểm của PQ ( vì Q đối xứng với P qua N )

AC cắt PQ tại N

⇒ APCQ là hình bình hành

⇒ AQ // PC

    AQ = PC

Mà P là trung điểm của BC ⇒ BP = PC 

⇒ AQ = BD

Xét tứ giác ABPQ có :

AQ // BD (  vì AQ // PC )

AQ = BD ( chứng minh trên )

⇒ ABPQ là hình bình hành.

c) Xét tứ giác MNPH có : MN // HP ( vì MN // BH )

⇒ MNPH là hình thang (1)

Xét ΔABC có : 

M là trung điểm của AB ( gt )

P là trung điểm của BC ( gt )

⇒ MP là đường trung bình của ΔABC 

⇒ MP = AC/2 (2) 

Xét ΔAHC vuông tại H có  : HN là đường trung tuyến của ΔAHC ( Vì N là trung điểm của AC )

⇒ HN = AC/2 (3)

Từ (2) và (3) suy ra : MP = HN (4)

Từ (1) và (4) suy ra : MNPH là hình thang cân.

Chúc bạn học tốt!