`a)` `AC;MC` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `C` `(A;M` là hai tiếp điểm)

`=>OC` là phân giác của `\hat{AOM}` `(1)`

`\qquad AC=MC`

Mà `OA=OM=R`

`=>OC` là trung trực của `AM`

`=>OC`$\perp AM$ $(2)$

$\\$

Từ `(1)=>\hat{AOM}=2\hat{COM}`

$\\$

`BD;MD` là hai tiếp tuyến cắt nhau tại `D` `(B;M` là hai tiếp điểm)

`=>BD=MD`

`\qquad OD` là phân giác của `\hat{BOM}`

`=>\hat{BOM}=2\hat{DOM}`

Ta có:

`\hat{AOM}+\hat{BOM}=180°` (hai góc kề bù)

`=>2\hat{COM}+2\hat{DOM}=180°`

`=>\hat{COM}+\hat{DOM}=90°`

`=>\hat{COD}=90°` 

`=>OD`$\perp OC$ $(3)$

$\\$

Từ `(2);(3)=>AM`//`OD`

$\\$

`b)` Xét $∆COD$ vuông tại $O$ có $OM\perp CD$

`=>OM^2=MC.MD` (hệ thức lượng)

`=>R^2=AC.BD` (vì `AC=MC;BD=MD)`

Vậy `AC.BD = R^2`

$\\$

`c)` Ta có: `AC`//$BD$ (cùng $\perp AB$)

`=>ACDB` là hình thang 

Gọi `E` là trung điểm $CD$

Vì `O` là trung điểm $AB$

`=>OE` là đường trung bình hình thang $ACDB$

`=>OE`//$AC$//$BD$

Mà $AC\perp AB$

`=>AB`$\perp OE$ $(4)$

$\\$

Xét $∆COD$ vuông tại $O$ có trung tuyến $OE$

`=>OE={CD}/2` $(5)$

Từ `(4);(5)=> AB` là tiếp tuyến tại `O` của đường tròn đường kính `CD`

$\\$

`d)` Xét $∆KAC$ có $AC$//$BD$

`=>{KC}/{KB}={AC}/{BD}` (hệ quả định lý Talet)

`=>{KC}/{KB}={MC}/{MD}` (vì `AC=MC;BD=MD)`

`=>MK`//$AC$ (định lý Talet đảo)

Vì $AC\perp AB$

`=>MK`$\perp AB$

$\\$

`e)`  Ta có: $CD=MC+MD=AC+BD$

Hình thang $ACDB$ có:

`\qquad \hat{CAB}=\hat{ABD}=90°`

`=>` $ACDB$ là hình thang vuông tại `A;B`

`=>CD\ge AB` $(6)$

`\qquad S_{ACDB}={(AC+BD).AB}/2={CD.AB}/2`

`={CD.2R}/2=R.CD`

$\\$

`=>S_{ACDB}` nhỏ nhất khi $CD$ nhỏ nhất

Từ $(6)$ `=>CD` nhỏ nhất bằng $AB=2R$ khi $CD\perp AC$

`=>\hat{ACD}=\hat{CAB}=\hat{ABD}=90°`

`=>ACDB` là hình chữ nhật

$\\$

Vì $CD$ là tiếp tuyến tại $M$ của $(O)$

`=>CD` $\perp OM$

Mà $CD$ // $AB$ `=>OM`  $\perp AB$

Ta lại có $O$ là trung điểm của $AB$

`=>OM` là đường trung trực của $AB$

`=>MA=MB` 

`=>M` thuộc điểm chính giữa cung $AB$

Khi đó `S_{ACDB}=R.CD=R.2R=2R^2`

Vậy `S_{ACDB}` nhỏ nhất bằng `2R^2` khi `M` là điểm chính giữa cung $AB$